单调区间能写成并吗？【基于间断区间的讨论】

创始人

2024-01-20 05:19:23

0次

不能。

问题

在做到一道题的时候，发现了两个减区间，于是就用并∪连接到一起了，但是答案是要用和连接。于是想要辨析一下这个并和和的区别。

区别

并：并的意思是将多个区间看成一个并起来的整体，在整个区间上仍然是单调的。
和：和的条件比并弱，和只要在各个区间上分别单调就行。

两个间断区间的单调性

例1

举例：
在这里插入图片描述
由图可知，显然我们不能说并，因为这在两个区间上是分别单调，不是整体单调。

例2

在这里插入图片描述
在不给出图像的情况下，很容易犯这样一种错误，就是只根据分子讨论单调性，比如这道题，如果只根据分子讨论，得出的结果是这样的：

实际上，这个单调性还要根据这个分母一起来讨论。
比如这道题，我们不知道1这点两侧的情况（1是间断点）。
那么就要做1-和1+两个讨论，发现如下：
在这里插入图片描述
实际上，在间断点两侧，虽然是递减的，但是是分别递减（这是由导数小于0保证的）。
然而在间断点两侧为什么会出现这么离谱的变化呢？这是由于分子是有界量，分母是0+和0-这两个不同的情况。 因此会出现正无穷和负无穷。

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