目录

一、前言

二、树状数组的原理

1、杂论

2、从二叉树到树状数组

3、神奇的 lowbit(x) 操作

4、tree[ ]数组：将一维信息转换为树形信息存储

5、基于 tree[ ] 的计算

6、tree[]的更新（要加lowbit）

三、树状数组的应用

1、单点修改、区间查询

2、区间修改、区间查询（lanqiaoOJ1133）

（1）区间修改：利用差分（差分天然适合区间修改）

（2）区间查询（利用差分数组输出区间和）

一、前言

本文主要讲了树状数组的原理及其应用，涉及到了前缀和思想、差分思想。另外，补充另一篇关于树状数组的文章：lowbit和树状数组的理解与部分应用_吕同学的头发不能秃的博客-CSDN博客

二、树状数组的原理

1、杂论

• 树状数组（Binary Indexed Tree, BIT），利用数的二进制特征进行检索的一种树状结构。
• 一种真正的高级数据结构：二分思想、二叉树、位运算、前缀和
• 高效！
• 代码极其简洁！

【基本应用】

数列 a1,a2, ....,an，操作：

（1）修改元素 add(k, x)：把ak加上x

（2）求和：sum(x) = a1 + ... +ax

区间和 ai + ... + aj = sum(j) - sum(i-1)

【不修改、只查询】

数列 a1, a2, ..., an，求区间和：ai +...+ aj

• 数列是静态的，用前缀和计算区间和，特别高效。
• 前缀和：sum[i] = a1 + ... + ai
• 区间和：ai + ... + aj = sum[j] - sum[i-1]
• 查询一次区间和，O(1)

a=[0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]
sum=[0]*20
sum[1]=a[1]
for i in range(2,11):    #计算前缀和sum[i]=sum[i-1]+a[i]
print(sum)
for i in range(1,11):   #用前缀和反推计算数组a[]print(sum[i]-sum[i-1],end=' ')
print("[5,8]=",sum[8]-sum[4])   #查询区间和，例如查询[5,8]

【讨论】

如果数列是动态的，修改元素 add(k,x) 把ak加上x，复杂度是O(1)；求区间和 sum(j)-sum(i-1)，复杂度为O(n)，求区间和的效率比较低。

【动态修改、求区间和：用树状数组】

数列是动态的

修改元素 add(k,x)：把ak加上x。

求区间和：sum(j)-sum(i-1)

复杂度都是：O(logn)

def lowbit(x):return x&-x
def add(x,d):while x0:ans+=tree[x]x-=lowbit(x)return ans

2、从二叉树到树状数组

3、神奇的 lowbit(x) 操作

• lowbit(x) = x & -x
• 功能：找到 x 的二进制数的最后一个 1

4、tree[ ]数组：将一维信息转换为树形信息存储

从 lowbit(x) 推出 tree[] 数组，所有的计算都基于 tree[]

令 m = lowbit(x)

定义tree[x]：把 ax 和它前面共 m 个数相加。

例：lowbit(6)=2，有 tree[6]=a5+a6

横线中的黑色表示 tree[x]，等于横线上元素相加的和

5、基于 tree[ ] 的计算

（1）求和 sum=a1 + ... + ax

利用 tree[] 数组求 sum，例如：

sum[8] = tree[8]

sum[7] = tree[7] + tree[6] + tree[4]

sum[9] = tree[9] + tree[8]

以上关系是如何得到的？借助lowbit(x)

【sum的计算】（要减lowbit）

例：sum[7] = tree[7] + tree[6] + tree[4]

（1）从 7 开始，加上 tree[7]；

（2）7-lowbit(7)=6，加上tree[6]；

（3）6-lowbit(6)=4，加上tree[4]；

（4）4-lowbit(4)=0，结束。

写出数的二进制进行加减你会更加清晰其中的道理，以及为什么要这么设计。

sum() 的复杂度？

O(logn)

非常好！

6、tree[]的更新（要加lowbit）

更改 ax，和它相关的 tree 都会变化。

例如改变 a3，那么 tree[3]、 tree[4]、tree[8]... 都会改变。

影响哪些 tree[ ]？仍然利用 lowbit(x)：

（1）更改tree[3]；

（2）3+lowbit(3)=4，更改 tree[4]；

（3）4+lowbit(4)=8，更改 tree[8]；

（4）直到最后的 tree[n]。

复杂度？

O(logn)

非常好！

三、树状数组的应用

1、单点修改、区间查询

【题目描述】

数列 a1, a2, ..., ai，操作：

（1）修改元素 add(k, x)：把ak加上x。

（2）求和：

sum(x) = a1 +... +ax

区间和 ai + ... + aj = sum(j) - sum(i-1)

【代码】

def lowbit(x):return x&-x
def add(x,d):   #给元素a[x]加上dwhile x<=N:tree[x]+=dx+=lowbit(x)
def sum(x):     #返回前缀和sumans=0while x>0:ans+=tree[x]x-=lowbit(x)return ansN=1000
tree=[0]*N
a=[0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]
for i in range(1,11):   #计算tree[]数组add(i,a[i])
print("old:[5,8]=",sum(8)-sum(4))   #查询区间和，例如查询[5,8]
add(5,100)                        #模拟一次修改：a[5]=a[5]+100
print("new:[5,8]=",sum(8)-sum(4))   

2、区间修改、区间查询（lanqiaoOJ1133）

【题目描述】

给定一个长度为 N 的数组 a，初值为 a1, a2, ..., aN

有 Q 个操作，操作有两种：

1 L R d：将区间 [L,R] 内每个数加上 d。

2 L R：输出区间 [L,R] 内每个数的和。

【输入描述】

第 1 行是整数 N、M，表示数组 a 的长度和操作个数。1<=n, m<=10^5

第 2 行包含 N 个非负整数 a1, a2, ...aN，表示数组 a 的初值

第 3~M+2 行每行表示一个操作

【输出描述】

输出每行一个整数，表示查询的答案

【输入样例】

5 5

1 2 3 4 5

2 1 2

1 2 3 1

2 1 3

1 1 5 1

2 1 5

【输出样例】

3

8

22

【输入处理代码】

n,m=map(int,input().split())
#old=0
a=[0]+[int(i) for i in input().split()]     #a[0]不用for _ in range(m):g=[int(i) for i in input().split()]if g[0]==1:     #区间修改L,R,d=g[1],g[2],g[3]else:           #区间询问L,R=g[1],g[2]

（1）区间修改：利用差分（差分天然适合区间修改）

一维差分数组 D[k]=a[k]-a[k-1]，即原数组 a[] 的相邻元素的差

差分数组能提高修改的效率。

把区间 [L,R] 内每个元素 a[] 加上 d，只需把对应的 D[] 做以下操作：

（1）把 D[L] 加上 d：D[L] += d

（2）把 D[R+1] 减去 d：D[R+1] -= d

 利用 D[]，能极快解决修改区间 [L,R] 内元素的目的。原来需要 O(n) 次计算，现在只需要O(1)。

说明：前缀和 a[x]=D[1]+D[2]+...+D[x]，有：

（1）1<=x

（2）L<=x<=R，前缀和 a[x] 增加了 d；

（3）R

（2）区间查询（利用差分数组输出区间和）

• 推导区间和，看它和求前缀和有没有关系，如果有关系，就能用树状数组。

• 最后的公式有两个前缀和
• 用两个树状数组分别处理：一个实现 Di，一个实现 (i - 1)Di。

【树状数组初始化】

（1）区间修改 D[k] = a[k] - a[k-1]

（2）区间查询

def lowbit(x):return x&-x
def update1(x,d):   #修改元素a[x],a[x]=a[x]+dwhile x<=N:tree1[x]+=dx+=lowbit(x)
def update2(x,d):while x<=N:tree2[x]+=dx+=lowbit(x)
def sum1(x):ans=0while x>0:ans+=tree1[x]x-=lowbit(x)return ans
def sum2(x):ans=0while x>0:ans+=tree2[x]x-=lowbit(x)return ansN=100010
tree1=[0]*N
tree2=[0]*N   #2个差分树状数组
n,m=map(int,input().split())
old=0
a=[0]+[int(i) for i in input().split()]     #a[0]不用for i in range(1,n+1):update1(i,a[i]-old)     #差分数组原理，初始化update2(i,(i-1)*(a[i]-old))old=a[i]for _ in range(m):g=[int(i) for i in input().split()]if g[0]==1:     #区间修改L,R,d=g[1],g[2],g[3]update1(L,d)        #第1个树状数组update1(R+1,-d)     update2(L,d*(L-1))  #第2个树状数组update2(R+1,-d*R)   #d*R=d*(R+1-1)else:           #区间询问L,R=g[1],g[2]print(R*sum1(R)-sum2(R)-(L-1)*sum1(L-1)+sum2(L-1))

以上，树状数组的原理和区间和

祝好