文章目录

• • 1. Implicit Neural Representations with Periodic Activation Functions
  • • 0. 什么是隐式神经表示
    • 1. 了解SineLayer的初始化，还是没了解。。。
    • 2. 均匀分布
    • 3. Lemma 1.1
    • 4. 一个简单实验, 拟合图像
    • • 4.1 网络模型代码如下，就是全连接网络，
      • 4.2 获取到图像
      • 4.3 训练

1. Implicit Neural Representations with Periodic Activation Functions

0. 什么是隐式神经表示

就是说用一个神经网络表示一个函数。

隐式神经表示（Implicit Neural Representations）是指通过神经网络的方式将输入的图像、音频、以及点云等信号表示为函数的方法[1] 。

对于输入x找到一个合适的网络F使得网络F能够表征函数Φ由于函数Φ是连续的，从而使得原始信号是连续的、可微的。这么干的好处在于，可以获取更高效的内存管理，得到更加精细的信号细节，并且使得图像在高阶微分情况下仍然是存在解析解的，并且为求解反问题提供了一个全新的工具。

以图像信号的隐式神经表示举例：

对于图像v而言，对于每个图像平面内的像素点存在像素的坐标（x,y），同时存在每个像素的RGB值，使用一个神经网络学习坐标（x，y）和RGB值的关系，得到训练后的网络Φ。这里的Φ就是图像v的隐式神经表示。

[1]https://www.ipanqiao.com/entry/713

1. 了解SineLayer的初始化，还是没了解。。。

本文提出使用 sin 函数代替常规的relu等激活函数，来拟合更复杂的信息，sin 函数的使用增加了网络的结构复杂度，同时也提高了网络的表现能力。加入sin 函数后网络的参数初始化很重要，没有好的初始化会导致比较差的效果。

作者通过一系列证明推导出一个比较好的参数初始化方案。
初始化方案的关键思想是保持通过网络的激活的分布，这样初始化时的最终输出就不依赖于层数。

正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数，记作arcsinx。
表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

（1） arcsinx是 （主值区）上的一个角（弧度数） 。

（2） 这个角（弧度数）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.

2. 均匀分布

3. Lemma 1.1

通过 arc sin函数和 均匀分布的知识，可以理解论文中的Lemma1.1 的推导过程。

其中 PDF 和 cdf 分别是

等等证明，没看太懂，直接看code吧

4. 一个简单实验, 拟合图像

4.1 网络模型代码如下，就是全连接网络，

但是激活函数是sine函数，另外就是SineLayer的初始化方法比较重要，论文中有大量证明。

class SineLayer(nn.Module):# See paper sec. 3.2, final paragraph, and supplement Sec. 1.5 for discussion of omega_0.# If is_first=True, omega_0 is a frequency factor which simply multiplies the activations before the # nonlinearity. Different signals may require different omega_0 in the first layer - this is a # hyperparameter.# If is_first=False, then the weights will be divided by omega_0 so as to keep the magnitude of # activations constant, but boost gradients to the weight matrix (see supplement Sec. 1.5)def __init__(self, in_features, out_features, bias=True,is_first=False, omega_0=30):super().__init__()self.omega_0 = omega_0self.is_first = is_firstself.in_features = in_featuresself.linear = nn.Linear(in_features, out_features, bias=bias)self.init_weights()def init_weights(self):with torch.no_grad():if self.is_first:self.linear.weight.uniform_(-1 / self.in_features, 1 / self.in_features)      else:self.linear.weight.uniform_(-np.sqrt(6 / self.in_features) / self.omega_0, np.sqrt(6 / self.in_features) / self.omega_0)def forward(self, input):return torch.sin(self.omega_0 * self.linear(input))def forward_with_intermediate(self, input): # For visualization of activation distributionsintermediate = self.omega_0 * self.linear(input)return torch.sin(intermediate), intermediateclass Siren(nn.Module):def __init__(self, in_features, hidden_features, hidden_layers, out_features, outermost_linear=False, first_omega_0=30, hidden_omega_0=30.):super().__init__()self.net = []self.net.append(SineLayer(in_features, hidden_features, is_first=True, omega_0=first_omega_0))for i in range(hidden_layers):self.net.append(SineLayer(hidden_features, hidden_features, is_first=False, omega_0=hidden_omega_0))if outermost_linear:final_linear = nn.Linear(hidden_features, out_features)with torch.no_grad():final_linear.weight.uniform_(-np.sqrt(6 / hidden_features) / hidden_omega_0, np.sqrt(6 / hidden_features) / hidden_omega_0)self.net.append(final_linear)else:self.net.append(SineLayer(hidden_features, out_features, is_first=False, omega_0=hidden_omega_0))self.net = nn.Sequential(*self.net)def forward(self, coords):coords = coords.clone().detach().requires_grad_(True) # allows to take derivative w.r.t. inputoutput = self.net(coords)return output, coords        def forward_with_activations(self, coords, retain_grad=False):'''Returns not only model output, but also intermediate activations.Only used for visualizing activations later!'''activations = OrderedDict()activation_count = 0x = coords.clone().detach().requires_grad_(True)activations['input'] = xfor i, layer in enumerate(self.net):if isinstance(layer, SineLayer):x, intermed = layer.forward_with_intermediate(x)if retain_grad:x.retain_grad()intermed.retain_grad()activations['_'.join((str(layer.__class__), "%d" % activation_count))] = intermedactivation_count += 1else: x = layer(x)if retain_grad:x.retain_grad()activations['_'.join((str(layer.__class__), "%d" % activation_count))] = xactivation_count += 1return activations

4.2 获取到图像

def laplace(y, x):grad = gradient(y, x)return divergence(grad, x)def divergence(y, x):div = 0.for i in range(y.shape[-1]):div += torch.autograd.grad(y[..., i], x, torch.ones_like(y[..., i]), create_graph=True)[0][..., i:i + 1]return divdef gradient(y, x, grad_outputs=None):if grad_outputs is None:grad_outputs = torch.ones_like(y)grad = torch.autograd.grad(y, [x], grad_outputs=grad_outputs, create_graph=True)[0]return graddef get_cameraman_tensor(sidelength):img = Image.fromarray(skimage.data.camera())transform = Compose([Resize(sidelength),ToTensor(),Normalize(torch.Tensor([0.5]), torch.Tensor([0.5]))])img = transform(img)return img
import cv2
img0 = get_cameraman_tensor(128)
img0 = img0.cpu().permute(1,2,0).numpy().astype(np.float32)
#img1 = (img0 - img0.min()) / (img0.max() - img0.min())
plt.imshow(img0, 'gray')
plt.show()

4.3 训练

模型的输入是 像素坐标，输出是像素值
通过训练后即用网络参数来拟合一张图像

class ImageFitting(Dataset):def __init__(self, sidelength):super().__init__()img = get_cameraman_tensor(sidelength)self.pixels = img.permute(1, 2, 0).view(-1, 1)self.coords = get_mgrid(sidelength, 2)def __len__(self):return 1def __getitem__(self, idx):if idx > 0: raise IndexErrorreturn self.coords, self.pixels

训练方法比较常规

    siz = 128cameraman = ImageFitting(siz)dataloader = DataLoader(cameraman, batch_size=1, pin_memory=True, num_workers=0)img_siren = Siren(in_features=2, out_features=1, hidden_features=256,hidden_layers=3, outermost_linear=True)img_siren.cuda()total_steps = 2501  # Since the whole image is our dataset, this just means 500 gradient descent steps.steps_til_summary = 2500optim = torch.optim.Adam(lr=1e-4, params=img_siren.parameters())model_input, ground_truth = next(iter(dataloader))model_input, ground_truth = model_input.cuda(), ground_truth.cuda()for step in range(total_steps):model_output, coords = img_siren(model_input)loss = ((model_output - ground_truth) ** 2).mean()if not step % steps_til_summary:print("Step %d, Total loss %0.6f" % (step, loss))img_grad = gradient(model_output, coords)img_laplacian = laplace(model_output, coords)fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 6))axes[0].imshow(model_output.cpu().view(siz, siz).detach().numpy(), 'gray')axes[1].imshow(img_grad.norm(dim=-1).cpu().view(siz, siz).detach().numpy(), 'gray')axes[2].imshow(img_laplacian.cpu().view(siz, siz).detach().numpy(), 'gray')plt.show()optim.zero_grad()loss.backward()optim.step()

得到拟合的图像，一阶梯度图，二阶laplace 图像。

[1]https://github.com/vsitzmann/siren