最值定理

如果函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则这个区间上一定存在最大值MMM和最小值mmm。

即：如果函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上一定有界。

介值定理

如果函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，且最大值和最小值分别为MMM和mmm，则对于mmm和MMM之间的任何实数ccc，在[a,b][a,b][a,b]上至少存在一个ξ\xiξ，使得f(ξ)=cf(\xi)=cf(ξ)=c。

即：闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值。

零点定理

如果函数在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)f(a)f(a)和f(b)f(b)f(b)异号，则在(a,b)(a,b)(a,b)内至少存在一个ξ\xiξ，使得f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0

零点定理其实就是介值定理的一种特殊情况。

零点定理的用法

• 用于方程找根或证明函数零点存在
• 若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调，则ξ\xiξ唯一

例题

设函数f(x)f(x)f(x)在[0,1][0,1][0,1]上可导，且010101，证明：

(1) 在(0,1)(0,1)(0,1)内存在一个点ξ\xiξ，使得f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ。

(2) ξ\xiξ是唯一的。

解：
\quad(1) 令F(x)=f(x)−xF(x)=f(x)-xF(x)=f(x)−x

F(0)=f(0)−0>0,F(1)=f(1)−1<0\qquad F(0)=f(0)-0>0,F(1)=f(1)-1<0F(0)=f(0)−0>0,F(1)=f(1)−1<0

F(x)\qquad F(x)F(x)在[0,1][0,1][0,1]上连续，F(0)⋅F(1)<0F(0)\cdot F(1)<0F(0)⋅F(1)<0

\qquad由连续函数的零点定理得∃ξ∈(0,1)\exist\xi\in(0,1)∃ξ∈(0,1)，使F(ξ)=0F(\xi)=0F(ξ)=0

\qquad即f(ξ)−ξ=0f(\xi)-\xi=0f(ξ)−ξ=0，得证f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ

\quad(2) ∵F′(x)=f′(x)−1,f′(x)>1\because F'(x)=f'(x)-1,f'(x)>1∵F′(x)=f′(x)−1,f′(x)>1

∴\qquad \therefore∴在(0,1)(0,1)(0,1)上始终由有F′(x)>0F'(x)>0F′(x)>0，即F(x)F(x)F(x)单调递增

∴F(x)\qquad \therefore F(x)∴F(x)有且只有一个零点

\qquad即有且仅有一个点ξ\xiξ，使f(ξ)=ξf(\xi)=\xif(ξ)=ξ