理论还是要和实际结合，矩阵分解有各种各样的形式，而根据实际用途会有不同的解法。这篇论文很不错，起因是pbrt里面的trs分解：

一开始不太理解，按照我的想法，RS矩阵，它的转置是(RS)T

两者相乘，就是SIS = S^2,按理说就求出了scale矩阵，然后再求出R矩阵即可。 查阅了一下论文：

一个复合矩阵可以很容易拆出投影P和平移T，主要是M，由RS复合。

如果不拆解，直接插值，那么效果是这样的：

显然，这不是我们想要的插值效果。

 然后便是我们需要理解的RS问题，对于任何一个物体，单独看的话，确实是可以进行RS分解。

但是，如果物体有层级关系，那么就有可能弄出一个SR的矩阵，比如父亲是缩放，儿子是旋转，就会这样：

 这叫做shear (剪切），可以用旋转和缩放模拟出来的效果（先旋转，在缩放）,这是无法通过RS矩阵来表示的。

把他拖到世界根节点，会变成：

 这里讲了三种分解分别的算法，其中奇异值分解算法最复杂。

后面开始对比各类分解的优缺点：

奇异值分解算的复杂，而且分解出来的正交矩阵可用性不足（对于动画矩阵而言）。举个例子，一个旋转矩阵的奇异值分解，可以变成无数种的两个旋转的组合。

而且输入的微小差别会导致产生完全不同的正交基。

再考虑这样的情况：

 毫无疑问是合理的分解，但缺产生了和实际世界毫无意义的信息。

QR分解是唯一的，而且相对稳定。计算也算迅速，但是，它的正交矩阵似乎没有任何实际的物理意义。

 这是什么意思呢，就是说如果矩阵M代表的是旋转和缩放，那么其实我们希望它是坐标系无关的。也就是说，换了个坐标系，旋转依然是旋转，缩放依然是缩放。但是，通过QR分解之后，我们发现，本来的下三角阵他就不是下三角阵了。这和我们的预期不符合。

也就是说，如果物体是先旋转后缩放，那么QR分解将无法把旋转和缩放分离出来。它只能处理先缩放后旋转的情况。

而极分解则是唯一的，而且是坐标系无关的，而且是容易计算的。而且Q是最接近M的正交矩阵。

 这里也非常有意思，如果M的行列式为正，那么Q就是一个纯旋转，如果M行列式为负，那么我们需要增加一个反射矩阵。也许最好排除反射矩阵，但那样的话我们很难找到和它最近的旋转，因为每个旋转和任何反射之间的距离是固定的。例如2D旋转，它和它反射的距离永远是4.

这里主要证明极分解的两种形式

参考：https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E6%9E%81%E5%88%86%E8%A7%A3

 其实很好证明

M=QS=QSQ^-1Q 令新的S=QSQ^-1即可。刚好是旋转矩阵，所以自然可逆就是转置。

所以极分解确实有很强的物理性质。

极分解在剪切上表现不好。

这里的意思是我们继续对S进行谱分解，为了保证U1和U2尽量接近，这样我们就可以让输入的变化干扰最小。后续还有不少内容，主要是怎么选择U1,U2，Un的问题，等需要用到再说吧。