1. 前言

什么是等价类？

类，顾名思义，是对具有共同特性对象群体的描述，这里也可称类为集合。

如果存在一个集合，则称此集合中的所有对象（元素、数据）满足等价关系。从另一个角度描述，当对象或元素不在同一个集合中时，则不满足等价关系。

图论中可以使用等价关系描述图的连通性。

如下图，任意两个顶点之间都是连通的，称此图为连通图，连通性是图的特征。且可认为此图中所有顶点均在一个集合中，且有等价关系，大家都在一个等价类中。

而如下图的非连通图。有 2 个连通分量，则认为所有顶点分布在 2 个等价类中。一个连通分量为一个等价类。故等价类可以用来判断图的连通性。

2. 等价类的关系

如何确认元素与元素属于同一个等价类？

也就是说，如现有一个集合 s，其中有 n 个元素，如何确定元素是在一个等价类中，还是分布在不同的等价类中。

当然，在确定元素之间是否属于同一个等价类时，需要一些元素与元素之间的关系信息。一般使用形如(x,y)的格式，也称为等价偶对。

例如，现有 s={1,2,3,4,5,6,7,8}，且存在等价偶对关系

R = {(1,3),(3,5),(3,7),(2,4),(4,6),(2,8)}。请找出 s 基于 R 的等价类。

其基本思路如下：

• 初始，假设原集合中的每一个元素都是一个仅包含自身的等价类。

• 依次读入偶对关系，对具有偶对关系的等价类进行合并。在下图中，先读入(1,3)偶对关系，元素1和3当前分属于 2 个不同等价类，对这 2 个等价类进行合并。当一个等价类向另一个等价类合并时，其中一个等价类变为空。

• 重复上述过程，根据读入的偶对关系，如果偶对关系中的 2 个元素分属于不同等价类则合并，如果属于同一个同价类，则保留现状。如下图，最终等价类为 2 个。

根据上述查找等价类可知：

• 等价类允许元素与元素之间存在直接或间接关系。
• 合并时，等价类会越变越少。

3. 等价类的实现

等价类可认为是一个集合，多个等价类就构成了一个集合群。为了区分集合群中不同的集合(等价类)，则需要为每一个等价类设置一个唯一的标志符号。

等价类可以使用数组、树、链表实现。无论使用哪一种方式，均需为等价类设置一个唯一的标志符号。

3.1 数组实现

使用数组解决上述案例中查找等价类的问题。

3.1.1 初始化数组

初始时，创建一个一维数组，因初始时，对最终有多少个等价类是不知的。最初可假设一个数字归属于一个等价类，且等价类的标志符号为数字本身。如下图所示：

Tips： 数字所在的等价类为数组中和数字相同的下标位置。

上述过程可用代码描述：

#include 
using namespace std;
//存储等价类信息的数组
int nums[9]= {0};/*
*  初始化函数
*/
void init() {for(int i=1; i<9; i++) {nums[i]=i;}
}

3.1.2 合并等价类

合并等价类是基于查询偶对关系的结果。

如读入 (1,3) 偶对关系，需要查询元素 1和3分属于的等价类，如果同属一个等价类，不做任何操作。如分属不同等价类，则合并。如下图所示：

当 2 个集合合并时，可以双向合并，实际操作时，可任选一种。如此，会出现如下两种效果。

从上图中如何判断有多少个等价类？

查找下标和存储值相同的单元格有多少个，便可计算出等价类的数量。

上文描述中，包括 2 个子逻辑：

• 查询元素所在的等价类。
• 合并不同的等价类。

使用代码实现时，则需要 2 个函数用来实现这 2 个子逻辑。

/*
*查找元素所属等价类的标志符号 
*/
int find(int data) {while(nums[data]!=data)data=nums[data];return data;
}

/*
*合并等价类
*/
void unionSet(int data,int data_) {//查找所属等价类int flag= find(data);int flag_=find(data_);if(flag!=flag_) {//合并//nums[flag_]=flag; //或者nums[flag]=flag_;}
}

测试代合并过程：

/*
*测试
*/
int main(int argc, char** argv) {init();int r[6][2] = {{1,3},{3,5},{3,7},{2,4},{4,6},{2,8}};for(int i=0; i<6; i++) {unionSet(r[i][0],r[i][1] );}cout<<"数字："<

#include 
using namespace std;
/*
*结点类型
*/
struct Node {//数据域int data;//指向后一个指针Node *next;
};

//存储等价类信息的数组
Node* nums[9];
/*
*  初始化函数
*/
void init() {for(int i=1; i<9; i++) {nums[i]=new Node();nums[i]->data=i;nums[i]->next=NULL;}
}

/*
* 查找元素所属等价类的标志符号
* 因头结点存储标志符号
* 函数返回数据所在链表的头结点
*/
Node* find(int data) {for(int i=1; i<9; i++) {if(nums[i]==NULL)continue;Node* move=nums[i];while(move!=NULL && move->data!=data ) {move=move->next;}if(move==NULL)continue;else return nums[i];}
}

/*
*合并等价类
*/
void unionSet(int data,int data_) {Node * flag= find(data);Node * flag_= find(data_);if( flag->data!=flag_->data ) {//合并flag_->next=flag->next;nums[flag_->data]=NULL;flag->next=flag_;}
}

/*
*测试
*/
int main(int argc, char** argv) {init();int r[6][2] = {{1,3},{3,5},{3,7},{2,4},{4,6},{2,8}};for(int i=0; i<6; i++) {unionSet(r[i][0] ,r[i][1]);}for(int i=1; i<9; i++) {if(nums[i]!=NULL) {Node * move=nums[i];cout<<"等价类："<data<data<<"\t";move=move->next;} cout<

#include 
using namespace std;
//树结点类型
struct Node{//数据域int data;//指向父指针的指针域Node *parent; 
}; 

Node* trees[9];
//初始化
void init() {for(int i=1; i<9; i++) {trees[i]=new Node();trees[i]->data=i;//根结点的父指针指向自己trees[i]->parent=trees[i];}
}

/*
*查询
*/
Node* find(int data) {Node * move=trees[data];while(move->parent->data!=data ) {move=move->parent;}return move->parent;
}

void unionSet(int data,int data_) {Node * flag= find(data);Node * flag_= find(data_);if( flag->data!=flag_->data ) {//合并flag_->parent=flag;}
}

//测试
int main(int argc, char** argv) {init();int r[6][2] = {{1,3},{3,5},{3,7},{2,4},{4,6},{2,8}};for(int i=0; i<6; i++) {unionSet(r[i][0] ,r[i][1]);}for(int i=1; i<9; i++) {if( trees[i]->parent->data==i ) {cout<<"等价类"<parent->data<