一、曲面和交线的定义

空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面SSS与三元方程：
F(x,y,z)=0(1)F(x,y,z)=0\tag{1} F(x,y,z)=0(1)
有下述关系：

1. 曲面 SSS 上任一点的坐标都满足方程(1)(1)(1)
2. 不在曲面SSS上的点坐标都不满足方程(1)(1)(1)

那么，方程(1)(1)(1)就叫做曲面SSS的方程，而曲面SSS就叫做方程(1)(1)(1)的图形。

上面的概念其实就是在描述数学表达式恰好能表达曲面，不多也不少。那么空间曲线又是如何定义的？

空间曲线可以看作两个曲面 S1S1S1 S2S2S2 的交线，设曲面的交线为 CCC，则交线可以应该满足方程组：
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{aligned} \right. {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​

二、平面方程

2.1 点法式方程

确定平面中的一点及其方向就是点法式方程的基本思想。平面中的点没有什么特殊的地方，就是属于平面上的一点， 那么方向应该如何表达合适呢？答案是，平面法向量。平面法向量是一个非零向量[1]垂直与待表示的平面，由线面垂直的定义，在平面上任意向量均与该平面的法向量垂直。

因为过一点有且仅有一条与平面垂直的直线。假设我们在平面 Π\PiΠ 上有一点M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0)M0​(x0​,y0​,z0​) 和它的法向量 n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)n=(A,B,C) ，这个平面被唯一确定，根据定义：
n⃗⋅M0M→=0\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0 n⋅M0​M​=0
因为n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)n=(A,B,C) ，M0M→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)M0​M​=(x−x0​,y−y0​,z−z0​)所以有：
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0(2)A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\tag{2} A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0(2)
这就是平面任意一点(xt,yt,zt)(x_t,y_t,z_t)(xt​,yt​,zt​) 都满足的方程，这就是平面的点法式方程，点指的是平面上一点，法指的是非零法向量。

2.2 平面的一般方程

对于一个三元一次方程表示：
Ax+By+Cz+D=0(3)Ax+By+Cz+D=0\tag{3} Ax+By+Cz+D=0(3)
任取满足该方程的一个点，代入方程：
Ax0+By0+Cz0+D=0(4)Ax_0+By_0+Cz_0+D=0\tag{4} Ax0​+By0​+Cz0​+D=0(4)
式子(3)−(4)(3)-(4)(3)−(4)：
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0(5)A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\tag{5} A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0(5)
我们知道(5)(5)(5)是一个点法式方程。所以：

• 任意 x,y,zx,y,zx,y,z都属于平面
• 不属于平面上的点都不满足(5)(5)(5)

从定义上看，方程(3)(3)(3)：

• 任意 x,y,zx,y,zx,y,z都属于平面
• 不属于平面上的点都不满足

这就意味着，Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 是一个平面方程。它有以下结论：

• 一般方程的 x,y,zx,y,zx,y,z 系数其实就是一个法向量
• 如果 D=0D=0D=0 过原点
• 如果 A=0A=0A=0 法向量为 n⃗=(0,B,C)\vec{n}=(0,B,C)n=(0,B,C) ，法向量垂直 XXX 轴，对应平面平行或包含 XXX 轴
• 如果 B=0B=0B=0 法向量为 n⃗=(A,0,C)\vec{n}=(A,0,C)n=(A,0,C) ，法向量垂直 YYY 轴，对应平面平行或包含 YYY 轴
• 如果 C=0C=0C=0 法向量为 n⃗=(A,B,0)\vec{n}=(A,B,0)n=(A,B,0) ，法向量垂直 ZZZ 轴，对应平面平行或包含 ZZZ 轴
• 如果 A=B=0A=B=0A=B=0 法向量为 n⃗=(0,0,C)\vec{n}=(0,0,C)n=(0,0,C) ，法向量同时垂直 X,YX,YX,Y轴，也就是垂直于对应的XOYXOYXOY平面，对应的平面平行或者包含XOYXOYXOY
• 如果 B=C=0B=C=0B=C=0 法向量为 n⃗=(A,0,0)\vec{n}=(A,0,0)n=(A,0,0) ，法向量同时垂直 Y,ZY,ZY,Z轴，也就是垂直于对应的YOZYOZYOZ平面，对应的平面平行或者包含YOZYOZYOZ
• 如果 A=0=CA=0=CA=0=C 法向量为 n⃗=(0,B,0)\vec{n}=(0,B,0)n=(0,B,0) ，法向量同时垂直 X,ZX,ZX,Z轴，也就是垂直于对应的XOZXOZXOZ平面，对应的平面平行或者包含XOZXOZXOZ

一大串文字，其实总结一句话，看法向量坐标，如果对应分量为0，那么法向量垂直于对应分量，对应平面平行或者包含对应分量。

三、两平面的夹角

从几何上看，平面的夹角是小于或者等于90度的，但在解析几何中，我们更加倾向于用法向量之间的夹角来定义，用向量夹角表示存在一个问题，向量夹角的范围是[0,π][0,\pi][0,π]，应该特别注意。

设平面 Π1\Pi_1Π1​ 和 Π2\Pi_2Π2​ 的法向量依次为 n1=(A1,B1,C1)\bold{n_1}=(A_1,B_1,C_1)n1​=(A1​,B1​,C1​) 和 n2=(A2,B2,C2)\bold{n_2}=(A_2,B_2,C_2)n2​=(A2​,B2​,C2​) ，则平面的夹角 θ\thetaθ 应为：(n1,n2^)(\widehat{\bold{n_1},\bold{n_2}})(n1​,n2​​)或者(−n1,n2^)=π−(n1,n2^)(\widehat{\bold{-n_1},\bold{n_2}})=\pi-(\widehat{\bold{n_1},\bold{n_2}})(−n1​,n2​​)=π−(n1​,n2​​)，选两个中的锐角或者直角，所以： cos⁡θ=∣(n1,n2^)∣\cos\theta=|(\widehat{\bold{n_1},\bold{n_2}})|cosθ=∣(n1​,n2​​)∣。用向量计算公式则为：
cos⁡θ=∣A1A2+B1B2+C1C2∣A12+B12+C12A22+B22+C22(6)\cos \theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\tag{6} cosθ=A12​+B12​+C12​​A22​+B22​+C22​​∣A1​A2​+B1​B2​+C1​C2​∣​(6)
从向量垂直和平行的充分必要条件立刻可推得：

• Π1、Π2\Pi_1、\Pi_2Π1​、Π2​ 垂直相当于 A1A2+B1B2+C1C2=0A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0A1​A2​+B1​B2​+C1​C2​=0
• Π1、Π2\Pi_1、\Pi_2Π1​、Π2​ 平行或重合相当于 A1A2+B1B2+C1C2=0\frac{A_1}{A_2}+\frac{B_1}{B_2}+\frac{C_1}{C_2}=0A2​A1​​+B2​B1​​+C2​C1​​=0

[1] 主要是你是零向量也没啥意思，什么信息都给不了