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• • hyp2f1
  • 广义超几何函数
  • 其他超几何函数

hyp2f1

当c不是0,−1,⋯0,-1,\cdots0,−1,⋯时，对于∣z∣<1|z|<1∣z∣<1，超几何函数可表示为

2F1(a;b;c;z)=∑n=0∞a(n)b(n)c(n)znn!_2F_1(a;b;c;z)=\sum^\infty_{n=0}\frac{a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!} 2​F1​(a;b;c;z)=n=0∑∞​c(n)a(n)b(n)​n!zn​

其中q(n)q^{(n)}q(n)定义为

q(n)={1n=0q(q+1)⋯(q+n−1)n>1q^{(n)}=\left\{\begin{aligned} &1\quad&n=0\\ &q(q+1)\cdots(q+n-1)&\quad n>1 \end{aligned}\right. q(n)={​1q(q+1)⋯(q+n−1)​n=0n>1​

所以在scipy中，超几何函数定义为

scipy.special.hyp2f1(a, b, c, z)

2F1_2F_12​F1​在a,b,c取某些特殊值的时候，可以化身为常见的初等函数，例如

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special as sc
xs = np.arange(1,1001)/100
ys = sc.hyp2f1(1,1,2, -xs)fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(121)
ax.plot(xs,ys)
ax = fig.add_subplot(122)
ax.plot(xs,np.log(1+xs)/xs)
plt.show()

效果如下图，可以说一毛一样

超几何函数常见的特殊情况有

2F1(1,1,2,−z)=ln⁡(1+z)z2F1(a,1,1,z)=(1−z)−a2F1(0.5,0.5,1.5,z2)=arcsin⁡zz\begin{aligned} _2F_1(1,1,2,-z) &= \frac{\ln(1+z)}{z}\\ _2F_1(a,1,1,z) &= (1-z)^{-a}\\ _2F_1(0.5,0.5,1.5,z^2) &= \frac{\arcsin z}{z} \end{aligned} 2​F1​(1,1,2,−z)2​F1​(a,1,1,z)2​F1​(0.5,0.5,1.5,z2)​=zln(1+z)​=(1−z)−a=zarcsinz​​

广义超几何函数

之所以超几何函数表示为2F1_2F_12​F1​，乃因存在一个更广泛的函数，广义超几何函数，可表示为

pFq(a1,a2,⋯,ap;b1,b2,⋯,bq;z)=∑n=0∞∏i=1p(ai)n∏i=1q(bi)(n)znn!_pF_q(a_1,a_2,\cdots,a_p;b_1,b_2,\cdots,b_q;z)=\sum^\infty_{n=0}\frac{\prod^p_{i=1}(a_i)^{n}}{\prod^q_{i=1}(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!} p​Fq​(a1​,a2​,⋯,ap​;b1​,b2​,⋯,bq​;z)=n=0∑∞​∏i=1q​(bi​)(n)∏i=1p​(ai​)n​n!zn​

当p=0, q=0时，上式退化为泰勒级数eze^zez。

其他超几何函数

scipy中提供了p=1,q=1p=1,q=1p=1,q=1以及p=0,q=1p=0,q=1p=0,q=1的形式，如下所示，其中b同样不能为非正整数。

scipy.special.hyp1f1(a, b, x)
scipy.special.hyp0f1(v, z)

其中0F1_0F_10​F1​是微分方程f′′(z)+vf′(z)=f(z)f''(z)+vf'(z)=f(z)f′′(z)+vf′(z)=f(z)的解。

最后，scipy实现了库默尔函数hyperu(a, b, x)，为Kummer方程的解，Kummer方程的形式如下

zd2wdz2+(b−z)dwdz−aw=0z\frac{\text d^2w}{\text dz^2}+(b-z)\frac{\text dw}{\text dz}-aw=0 zdz2d2w​+(b−z)dzdw​−aw=0