文章目录

• 一、基本概念
• • 1.1带权路径长度（WPL）
  • 1.2哈夫曼树
• 二、哈夫曼树的构造
• 三、哈夫曼树的应用
• • 3.1哈夫曼编码与前缀编码

一、基本概念

1.1带权路径长度（WPL）

路径长度： 经历的边数
结点的带权路径长度： 从树的根到该结点的路径长度 X 该结点上权值。

举例帮助理解

图中结点A的带权路径长度为:3×5=153\times5=153×5=15
图中结点D的带权路径长度为:2×2=42\times 2=42×2=4

1.2哈夫曼树

树的带权路径长度： 所有叶子结点的带权路径长度之和
哈夫曼树： 在含n个带权结点的二叉树中，带权路径最小的二叉树，又称最优二叉树

【注意】：哈夫曼树是最小带权二叉树，此处指树的带权路径长度（所有叶子结点WPL之和）

二、哈夫曼树的构造

给定n个权值分别为w1,w2,w3,...,wnw_1,w_2,w_3,...,w_nw1​,w2​,w3​,...,wn​的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下：

1. 每次从结点集合中选择最小的两个结点，作为新结点的左右子树。
2. 新结点的权值为被选出的两个结点权值之和。
3. 删除旧的两个结点，将新结点加入集合
4. 重复123步骤，直至集合中只剩一个结点

举例帮助理解：

至此，哈夫曼树构造完毕
WPL=7∗1+3∗(1+2+2+3)=31WPL=7*1+3*(1+2+2+3)=31WPL=7∗1+3∗(1+2+2+3)=31

三、哈夫曼树的应用

3.1哈夫曼编码与前缀编码

笔者在学习过程中，一直不明白，为什么哈夫曼树中，最小带权路径长度，是指所有叶子结点的WPL之和。也就是说，a,b,c,d都只能为叶子结点。

在此篇文章的案例中给出了答案。

可变长度编码： 允许对不同字符用不等长的二进制位表示
为了使编码的长度更短，进行可变长度编码，频率越高的码，对应的位数越少。根据我们所学的知识，可用哈夫曼树来解决。

举例帮助理解
学霸小甲答应告诉学渣小乙考试答案。他们决定用二进制编码来防止老师发现。
已知：C的出现频率为40%，A为30%，B为20%，D为10%

这里给出了答案。
对同一答案CAAABD
正确的哈夫曼编码应该为
0101010111110
而错误的哈夫曼编码为
01111110

只用肉眼看，是看不出问题在哪里的。一个合格的编码唯一对应一个答案。那么我们就从得到的编码逆向推导答案。

01111110得到的答案不唯一
0 11 11 11 0 = C B B B C??
0 1 1 1 1 1 1 0 = C A A A A A A C??
在读到A时，哈夫曼树仍可往下读得到B,D。（B,D的编码包含A）
因此，无法判断一个答案的范围。

0101010111110得到的答案唯一
0 10 10 10 111 110
= C A A A B D
而在正确编码中，读到A/B/C/D时，均为叶子结点，哈夫曼树不可往下读。也就实现了自动截断。

总结如上，要使编码之间不冲突，则编码之间是互相独立的，没有一个编码是另一个编码的前缀。这样的编码称之为前缀编码
哈夫曼编码就是一种前缀编码