同一矩阵在不同基下坐标是不一样的。在不同基下怎么转换呢？先拿向量来说，假设向量为(1,2,3)T(1,2,3)^T(1,2,3)T,在以下这组基下坐标是什么？
ϵ1=(112),ϵ2=(122),ϵ3=(133)\epsilon_1=\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}, \epsilon_2=\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}, \epsilon_3=\begin{pmatrix} 1\\3\\3 \end{pmatrix} ϵ1​=​112​​,ϵ2​=​122​​,ϵ3​=​133​​
  其实这个问题就是将向量表示为三个基的线性组合，也就是从这个角度讲，方程组的求解其实是找向量的线性组合，那么我们解这个方程：
(111123223)x=(123)x=(1−11)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 2 &3 \end{pmatrix}x=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}\\ x=\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}\\ ​112​122​133​​x=​123​​x=​1−11​​
  那么矩阵在另一个基下的矩阵，也可以用解方程的方式求解，比如下列矩阵：
(753−1642−23)\begin{pmatrix} 7 & 5 & 3\\ -1 & 6 & 4\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix} ​7−12​56−2​343​​
  这个矩阵在上述这组基下的坐标就是每个列向量都解方程,可以计算出来是：
(3−8−116257−12−12−3)\begin{pmatrix} 3 & -8 & -1\\ 16 & 25 & 7\\ -12 & -12 & -3 \end{pmatrix} ​316−12​−825−12​−17−3​​
  这样解方程是挺麻烦的，有没有快点的办法？可以利用基的逆矩阵：
(0−1131−2−201)\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\ 3 & 1 & -2\\ -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ​03−2​−110​1−21​​
  很快就可以计算出来：
(0−1131−2−201)(753−1642−23)=(3−8−116257−12−12−3)\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\ 3 & 1 & -2\\ -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & 5 & 3\\ -1 & 6 & 4\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -8 & -1\\ 16 & 25 & 7\\ -12 & -12 & -3\\ \end{pmatrix} ​03−2​−110​1−21​​​7−12​56−2​343​​=​316−12​−825−12​−17−3​​
  所以基变换是很简单的，直接用逆矩阵就行了。