4.5--贪心--单源最短路径问题
设置顶点集合S并不断地作贪心选择--（不属于这个集合S中距离"源"最短的顶点）来扩充这个集合--更新最短距离
这张图需要放在最前面，就是经典dijkstra的主要思想。
为什么这样贪心是对的？
1、问题描述
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
2、Dijkstra算法
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。
Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]
步骤如下：
(1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧
设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。
从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i], vi属于V.
(2) 选择v u, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}.
(3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j].
(4) 重复操作(2),(3)共n-1次.
伪代码如下：显然没有第一张图片清晰易懂
举例子：对右图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。
代码：
//4d5 贪心算法 单源最短路径问题
#include
#include
#include
using namespace std; const int N = 5;
const int M = 1000;
ifstream fin("4d5.txt"); template
void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1]);
void Traceback(int v,int i,int prev[]);//输出最短路径 v源点，i终点int main()
{int v = 1;//源点为1int dist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1];cout<<"有向图权的矩阵为："<>c[i][j]; cout<
void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1])
{bool s[N+1];for(int i=1; i<=n; i++){dist[i] = c[v][i];//dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度s[i] = false;if(dist[i] == M){prev[i] = 0;//记录从源到顶点i的最短路径i的前一个顶点}else{prev[i] = v;}}dist[v] = 0;s[v] = true;for(int i=1; i"< input:
1000 10 1000 30 100
1000 1000 50 1000 1000
1000 1000 1000 1000 10
1000 1000 20 1000 60
1000 1000 1000 1000 1000
output:
最优子结构
不论dist[u]如何变化，是否有变化，总是当前顶点集S到顶点u的最短特殊路径长度
复杂度分析
主体循环O（n），这个循环需要执行n-1次 于是完成循环需要O(n^2)的时间。
上一篇：Day03-无处不在的数据