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• 极限计算
• 求导计算
• 积分计算

极限计算

第一步:先看x→value确定类型第一步:先看x \rightarrow value确定类型第一步:先看x→value确定类型
7种未定型:∞∞,00,1∞,0∞,∞0,00,∞−∞7种未定型: \frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0},1^{\infty},0^{\infty},\infty^0,0^0,\infty-\infty7种未定型:∞∞​,00​,1∞,0∞,∞0,00,∞−∞

原则：f(x)xk,k已知上下同阶，k未知泰勒展开到无法抵消原则：\frac{f(x)}{x^k},k已知上下同阶，k未知泰勒展开到无法抵消原则：xkf(x)​,k已知上下同阶，k未知泰勒展开到无法抵消

1.1.1.
等价代换:t=1x等价代换: t=\frac{1}{x}等价代换:t=x1​
非零因子(包括L′过程中每次检查能否提出)非零因子(包括L'过程中每次检查能否提出)非零因子(包括L′过程中每次检查能否提出)
有理化(分子分母同乘除其他或xn[去除根号或凑等价无穷小])有理化(分子分母同乘除其他或x^n [去除根号 或 凑等价无穷小]) \\~有理化(分子分母同乘除其他或xn[去除根号或凑等价无穷小]) 

(xx)x′=(exlnx)x′=exlnx(lnx+1)=xx(lnx+1)(x^x)'_x=(e^{xlnx})'_x=e^{xlnx}(lnx+1)=x^x(lnx+1)\\~\\~(xx)x′​=(exlnx)x′​=exlnx(lnx+1)=xx(lnx+1)  
2.2.2.
极限类型1∞=eA极限类型1^\infty=e^A \\~极限类型1∞=eA 
计算题没有1：计算题没有1：\\~计算题没有1： 
lim⁡x→□f(x)g(x)=lim⁡x→□(1+(f(x)−1))g(x)\lim\limits_{x \to □}f(x)^{g(x)}=\lim\limits_{x \to □}(1+(f(x)-1))^{g(x)}\\~x→□lim​f(x)g(x)=x→□lim​(1+(f(x)−1))g(x) 
A=lim⁡x→□(f(x)−1)g(x)A=\lim\limits_{x \to □}(f(x)-1)g(x)\\~A=x→□lim​(f(x)−1)g(x) 
原极限=eA=elim⁡x→□(f(x)−1)g(x)原极限=e^A=e^{\lim\limits_{x \to □}(f(x)-1)g(x)}\\~\\~原极限=eA=ex→□lim​(f(x)−1)g(x)  
3.3.3.
系数a相同，极限类型1∞则:系数a相同，极限类型1^\infty则:\\~系数a相同，极限类型1∞则: 
lim⁡x→∞=(ax+bax+c)hx+k=e(b−c)ha\lim\limits_{x\to \infty}=(\frac{ax+b}{ax+c})^{hx+k}=e^{\frac{(b-c)h}{a}}\\~x→∞lim​=(ax+cax+b​)hx+k=ea(b−c)h​ 
看到极限次幂大小为∞，基本确定为1∞型看到极限次幂大小为\infty，基本确定为1^\infty型看到极限次幂大小为∞，基本确定为1∞型

出现e1x或∣x∣因子考虑左右极限出现e^{\frac{1}{x}}或|x|因子考虑左右极限出现ex1​或∣x∣因子考虑左右极限

扩技巧：arctanx+arctan1x=π2(证明f′(x)=0,说明f(x)=c,带入0得π2,x∈R)arcsinx+arccosx=π2→arcsinx−π2=−arccosx\\~\\~ 扩技巧：\\~ arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} ~~(证明f'(x)=0,说明f(x)=c,带入0得\frac{\pi}{2},x \in \small{R}~ ) \\~\\~ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2} \rightarrow arcsinx - \frac{\pi}{2}=-arccosx \\~  扩技巧： arctanx+arctanx1​=2π​  (证明f′(x)=0,说明f(x)=c,带入0得2π​,x∈R )  arcsinx+arccosx=2π​→arcsinx−2π​=−arccosx 

lim⁡n→∞或0为数列极限【不连续】此时不能L′，也不能Taylor，若要使用则需先令x=n转换为函数极限\lim\limits_{n \rightarrow \infty 或0} 为数列极限【不连续】此时不能L'，也不能Taylor，若要使用则需先令x=n转换为函数极限n→∞或0lim​为数列极限【不连续】此时不能L′，也不能Taylor，若要使用则需先令x=n转换为函数极限

易错或典例1−1+x=1−(1+−12x+o(x))∼−12x\\~\\~\\~\\ 易错或典例 \\~ 1-\sqrt{1+x} = 1-(1+-\frac{1}{2}x+o(x)) \sim -\frac{1}{2}x \\~   易错或典例 1−1+x​=1−(1+−21​x+o(x))∼−21​x 
lim⁡x→∞12x极限不存在，lim⁡x→−∞12x(不存在)≠lim⁡x→−∞12x(值为0)\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{2^x}极限不存在，\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{2^x} (不存在)\neq \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{2^x}(值为0)\\~x→∞lim​2x1​极限不存在，x→−∞lim​2x1​(不存在)=x→−∞lim​2x1​(值为0) 

左极限≠右极限：ex,arctanxlim⁡x→+∞ex=+∞,lim⁡x→−∞ex=0lim⁡x→+∞arctanx=π2,lim⁡x→−∞arctanx=−π2左极限\ne 右极限：e^x, arctanx \\ \lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty,\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}arctanx=\frac{\pi}{2} ,\lim\limits_{x \to -\infty}arctanx=-\frac{\pi}{2} \\~左极限=右极限：ex,arctanxx→+∞lim​ex=+∞,x→−∞lim​ex=0x→+∞lim​arctanx=2π​,x→−∞lim​arctanx=−2π​ 

lim⁡x→∞x−sinxx+sinx不能L′(求导后极限不存在),上下同除x，得极限为1\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x-sinx}{x+sinx}不能L'(求导后极限不存在),上下同除x，得极限为1\\~x→∞lim​x+sinxx−sinx​不能L′(求导后极限不存在),上下同除x，得极限为1 
lim⁡x→∞x2−ln(1+1x)类型为∞−∞,看到1x固定倒代换t=1x\lim\limits_{x \to \infty} x^2-ln(1+\frac{1}{x}) 类型为\infty-\infty,看到\frac{1}{x}固定倒代换t=\frac{1}{x}\\~x→∞lim​x2−ln(1+x1​)类型为∞−∞,看到x1​固定倒代换t=x1​ 

拆分：+1−1,+x−x,+cosx−cosx,拆分成两部分求极限拆分：+1-1,+x-x,+\sqrt{cosx}-\sqrt{cosx},拆分成两部分求极限\\~拆分：+1−1,+x−x,+cosx​−cosx​,拆分成两部分求极限 

数列极限lim⁡n→∞(n−lnnn+lnn)nlnn=lim⁡n→∞(1−lnnn1+lnnn)nlnn=1,只要次幂部分为∞，可判断为1∞数列极限\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n-lnn}{n+lnn})^\frac{n}{lnn}=\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1-\frac{lnn}{n}}{1+ \frac{lnn}{n}})^\frac{n}{lnn}=1, 只要次幂部分为\infty，可判断为1^\infty \\~\\~数列极限n→∞lim​(n+lnnn−lnn​)lnnn​=n→∞lim​(1+nlnn​1−nlnn​​)lnnn​=1,只要次幂部分为∞，可判断为1∞  

lim⁡x→∞x6+x56−x6−x56需t=1x替换后才可以使用泰勒公式原式=lim⁡t→0+(1t6+1t5)16−(1t6−1t5)16=lim⁡t→0+(1+t)16−(1−t)16t=lim⁡t→0+=lim⁡t→0+13t+o(t)t=13(偶数次幂0+[非重点,写t→0也行]【T的使用前提】)\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}~需t=\frac{1}{x}替换后才可以使用泰勒公式\\~ 原式=\lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}=\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{3}t+o(t)}{t}=\frac{1}{3} \small(偶数次幂0^+[非重点,写t \to 0也行]【T的使用前提】)x→∞lim​6x6+x5​−6x6−x5​ 需t=x1​替换后才可以使用泰勒公式 原式=t→0+lim​(t61​+t51​)61​−(t61​−t51​)61​=t→0+lim​t(1+t)61​−(1−t)61​​=t→0+lim​=t→0+lim​t31​t+o(t)​=31​(偶数次幂0+[非重点,写t→0也行]【T的使用前提】)
此题也可直接等价无穷小：原式=lim⁡t→0+(1t6+1t5)16−(1t6−1t5)16=lim⁡t→0+(1+t)16−(1−t)16t=lim⁡t→0+(1+t)16−1+1−(1−t)16t=lim⁡t→0+(1+t)16−1t+lim⁡t→0+1−(1−t)16t=16+16=13负负得正此题也可直接等价无穷小：原式=\lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-1+1-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-1}{t}+\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{1-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}~负负得正\\~此题也可直接等价无穷小：原式=t→0+lim​(t61​+t51​)61​−(t61​−t51​)61​=t→0+lim​t(1+t)61​−(1−t)61​​=t→0+lim​t(1+t)61​−1+1−(1−t)61​​=t→0+lim​t(1+t)61​−1​+t→0+lim​t1−(1−t)61​​=61​+61​=31​ 负负得正 

ax∼axlna类似ex的泰勒公式，但是一般不用，而是用L′(看条件)a^x \sim a^xlna类似e^x的泰勒公式，但是一般不用，而是用L'(看条件)ax∼axlna类似ex的泰勒公式，但是一般不用，而是用L′(看条件)

lim⁡x→0sinx(sinx)=lim⁡x→0sinx−16sin3x...=lim⁡x→0(x−16x3+o(x3))−16(x−16x3+o(x3))3+o(x3)=lim⁡x→0x−13x3+o(x3)\lim\limits_{x \to 0}sinx(sinx)=\lim\limits_{x \to 0}sinx-\frac{1}{6}sin^3x... =\lim\limits_{x \to 0}(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))-\frac{1}{6}(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))^3+o(x^3) \\~ =\lim\limits_{x \to 0}x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)x→0lim​sinx(sinx)=x→0lim​sinx−61​sin3x...=x→0lim​(x−61​x3+o(x3))−61​(x−61​x3+o(x3))3+o(x3) =x→0lim​x−31​x3+o(x3)

lim⁡x→0tan(tanx)=lim⁡x→0tanx+13tan3x+...=lim⁡x→0(x+13x3+o(x3))+13(x+13x3+o(x3))3+o(x3)=x+23x3+o(x3)\lim\limits_{x \to 0}tan(tanx)=\lim\limits_{x \to 0}tanx+\frac{1}{3}tan^3x+... =\lim\limits_{x \to 0}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))+\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^3+o(x^3) \\~ =x+\frac{2}{3}x^3+o(x^3)x→0lim​tan(tanx)=x→0lim​tanx+31​tan3x+...=x→0lim​(x+31​x3+o(x3))+31​(x+31​x3+o(x3))3+o(x3) =x+32​x3+o(x3)

推出：tan(tanx)−sinx(sinx)=x3+o(x3)推出：tan(tanx)-sinx(sinx)=x^3+o(x^3)推出：tan(tanx)−sinx(sinx)=x3+o(x3)

另一种做法:lim⁡x→0tan(tanx)−sinx(sinx)=lim⁡x→0(tan(tanx)−tanx)+(tanx−sinx)+(sinx−sinx(sinx))=lim⁡x→0(13x3+o(x3))+(12x3+o(x3))+(16x3+o(x3))=lim⁡x→0x3+o(x3)另一种做法:\lim\limits_{x \to 0}tan(tanx)-sinx(sinx)=\lim\limits_{x \to 0}(tan(tanx)-tanx)+(tanx-sinx)+(sinx-sinx(sinx)) \\~ =\lim\limits_{x \to 0}(\frac{1}{3}x^3+o(x^3))+(\frac{1}{2}x^3+o(x^3))+(\frac{1}{6}x^3+o(x^3))=\lim\limits_{x \to 0}x^3+o(x^3)另一种做法:x→0lim​tan(tanx)−sinx(sinx)=x→0lim​(tan(tanx)−tanx)+(tanx−sinx)+(sinx−sinx(sinx)) =x→0lim​(31​x3+o(x3))+(21​x3+o(x3))+(61​x3+o(x3))=x→0lim​x3+o(x3)

lim⁡x→0(1+x)1x−ex的(1+x)1x部分不能用e等价替换，(在同一极限下，不能分次求极限)原式=lim⁡x→0eln(1+x)1x−ex=lim⁡x→0eln(1+x)1x−ex[用公式ef(x)−eg(x),提取eg(x)]=elim⁡x→0e(1xln(1+x)−1)−1x=elim⁡x→01xln(1+x)−1x[Taylor]=elim⁡x→0ln(1+x)−xx2=elim⁡x→0−12x2x2=−12e\lim\limits_{x \to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}的(1+x)^{\frac{1}{x}}部分不能用e等价替换，(在同一极限下，不能分次求极限) \\ 原式=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e}{x} [用公式e^{f(x)}-e^{g(x)},提取e^{g(x)}]~\\=e \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{(\frac{1}{x}ln(1+x)-1)}-1}{x}=e \lim\limits_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}ln(1+x)-1}{x} [Taylor] =e\lim\limits_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}= e\lim\limits_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}e \\~x→0lim​x(1+x)x1​−e​的(1+x)x1​部分不能用e等价替换，(在同一极限下，不能分次求极限)原式=x→0lim​xeln(1+x)x1​−e​=x→0lim​xeln(1+x)x1​−e​[用公式ef(x)−eg(x),提取eg(x)] =ex→0lim​xe(x1​ln(1+x)−1)−1​=ex→0lim​xx1​ln(1+x)−1​[Taylor]=ex→0lim​x2ln(1+x)−x​=ex→0lim​x2−21​x2​=−21​e 

lim⁡x→+∞(2πarctanx−1)x=lim⁡x→+∞2π(arctanx−π2)x=2πlim⁡x→+∞(−arctan1x)x[记技巧]=−2π\lim\limits_{x \to +\infty}(\frac{2}{\pi}arctanx-1)x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{2}{\pi}(arctanx-\frac{\pi}{2})x=\frac{2}{\pi}\lim\limits_{x \to +\infty}(-arctan\frac{1}{x})x[记技巧]=-\frac{2}{\pi}\\~x→+∞lim​(π2​arctanx−1)x=x→+∞lim​π2​(arctanx−2π​)x=π2​x→+∞lim​(−arctanx1​)x[记技巧]=−π2​ 

lim⁡n→∞(an+bn2)n=lim⁡x→∞(ax+bx2)x[函数极限才可泰特]由1∞=eA，A=lim⁡x→∞(ax+bx2−1)x=不能[lim⁡x→∞((1+a−1)1x+(1+b−1)1x−22)x(a−1,b−1不能确定无穷小，不能T，用L′)]正解：[令t=1x]=lim⁡t→0at+bt−22t=[L′]lim⁡t→0atlna+btlnb2=lnab2=12lnab=lnab原式=eA=elnab=ab\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2})^n= \lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x [函数极限才可泰特] \\由1^\infty=e^A，A= \lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2}-1)x=不能[~\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{(1+a-1)^{\frac{1}{x}}+(1+b-1)^{\frac{1}{x}}-2}{2})x~~(a-1,b-1不能确定无穷小，不能T，用L')] \\ 正解：[令t=\frac{1}{x}]=\lim\limits_{t \to 0}\frac{a^t+b^t-2}{2t}=[L']\lim\limits_{t \to 0}\frac{a^tlna+b^tlnb}{2}=\frac{lnab}{2}=\frac{1}{2}lnab=ln \sqrt{ab} \\原式=e^A=e^{ln \sqrt{ab}}= \sqrt{ab} \\~n→∞lim​(2na​+nb​​)n=x→∞lim​(2xa​+xb​​)x[函数极限才可泰特]由1∞=eA，A=x→∞lim​(2xa​+xb​​−1)x=不能[ x→∞lim​(2(1+a−1)x1​+(1+b−1)x1​−2​)x  (a−1,b−1不能确定无穷小，不能T，用L′)]正解：[令t=x1​]=t→0lim​2tat+bt−2​=[L′]t→0lim​2atlna+btlnb​=2lnab​=21​lnab=lnab​原式=eA=elnab​=ab​ 

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总结：7种未定型解法：1∞=eA=elim⁡x→□f(x)0∗∞把求导更难的放分子，其余放分母，再L′00用L′,T∞∞用L′,T,看最高次系数∞−∞通分00用eln指数化无穷小量∗有界量=0区分左右极限：①如ex要分左右极限分别计算  (图像左极限!=右极限)②分段函数[x]总结： \\~\\~ 7种未定型解法： \\~ 1^\infty =e^A=e^{\lim \limits_{x \to □}f(x)} \\~ 0*\infty~把求导更难的放分子，其余放分母，再L' \\~ \frac{0}{0} ~用L',T\\~ \frac{\infty}{\infty}~用L',T,\mathbf{}看最高次系数 \\~ \infty-\infty通分 \\~ 0^0用e^{ln指数化} \\~ 无穷小量*有界量=0 \\~ \\~ 区分左右极限： \\~ ①如e^x要分左右极限分别计算 ~~\small(图像左极限!=右极限)\\~ ②分段函数[x] \\~总结：  7种未定型解法： 1∞=eA=ex→□lim​f(x) 0∗∞ 把求导更难的放分子，其余放分母，再L′ 00​ 用L′,T ∞∞​ 用L′,T,看最高次系数 ∞−∞通分 00用eln指数化 无穷小量∗有界量=0  区分左右极限： ①如ex要分左右极限分别计算  (图像左极限!=右极限) ②分段函数[x] 

求导计算

1.利用导数定义求导:1.利用导数定义求导:1.利用导数定义求导:

f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\~f′(x0​)=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​=Δx→0lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​ 
复杂求导配合非零因子带入,拆分复杂求导配合非零因子带入,拆分\\~复杂求导配合非零因子带入,拆分 
变型f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0f(x−Δx)−f(x)−Δx变型f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x} \\~变型f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​=Δx→0lim​−Δxf(x−Δx)−f(x)​ 
当x−x0=Δx无穷小时,导数值近似等于x=x0处的斜率当x-x_0=\Delta x 无穷小时,导数值近似等于x=x_0处的斜率当x−x0​=Δx无穷小时,导数值近似等于x=x0​处的斜率

扩：00型极限，但没有说在x=x0的去心领域内可导，只说在x=x0这个点可导，不能用L′,只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限)扩：\frac{0}{0}型极限，但没有说在x=x_0的去心领域内可导，只说在x=x_0这个点可导，\\~ 不能用L',只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限)扩：00​型极限，但没有说在x=x0​的去心领域内可导，只说在x=x0​这个点可导， 不能用L′,只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限)
反之没有说只在x=x0这个点可导，可L′,注意复合函数求导反之没有说只在x=x_0这个点可导，可L',注意复合函数求导反之没有说只在x=x0​这个点可导，可L′,注意复合函数求导

分段函数求导:分段点只能用导数定义，分段区间用求导法则分段函数求导:分段点只能用导数定义，分段区间用求导法则分段函数求导:分段点只能用导数定义，分段区间用求导法则

∣x∣在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑)f−′(0)=−1,f+′(0)=1,f−′(0)≠−1,f+′(0)即∣x∣在x=0不可导|x|在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑) \\~ f'_-(0)=-1,f'_+(0)=1,f'_-(0)\ne-1,f'_+(0)即|x|在x=0不可导∣x∣在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑) f−′​(0)=−1,f+′​(0)=1,f−′​(0)=−1,f+′​(0)即∣x∣在x=0不可导
`
2.复合函数f(u),u=f(z),z=f(x)→(f(u))′=f′(u)uz′zx′=f′(u)f′(z)f′(x)判断复合：比如sin1x,基本求导公式只学过sinx，没有sin1x，说明其为复合函数，用复合函数求导2.复合函数 \\~ f(u),u=f(z),z=f(x) \to (f(u))'=f'(u)u'_zz'_x=f'(u)f'(z)f'(x) \\~ 判断复合：比如sin\frac{1}{x},基本求导公式只学过sinx，没有sin\frac{1}{x}，说明其为复合函数，用复合函数求导2.复合函数 f(u),u=f(z),z=f(x)→(f(u))′=f′(u)uz′​zx′​=f′(u)f′(z)f′(x) 判断复合：比如sinx1​,基本求导公式只学过sinx，没有sinx1​，说明其为复合函数，用复合函数求导

ln1−x1+x2=12[ln(1−x)−ln(1+x2)]ln \sqrt\frac{1-x}{1+x^2}=\frac{1}{2}[ln (1-x)-ln(1+x^2)]ln1+x21−x​​=21​[ln(1−x)−ln(1+x2)]

ln(x+x2±a2)=1x2±a2ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})=\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}ln(x+x2±a2​)=x2±a2​1​
积分：∫dxx2±a2=ln(x+x2±a2)+c积分：\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})+c积分：∫x2±a2​dx​=ln(x+x2±a2​)+c

复合函数求导...\\~\\~\\ 复合函数求导...\\~  复合函数求导... 

隐函数求导:隐函数求导: \\~隐函数求导: 

由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数，求dydx方法1：两边同时对x求导，把y看成x的函数由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数，求\frac{dy}{dx} \\~\\ 方法1：两边同时对x求导，把y看成x的函数 \\~由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数，求dxdy​ 方法1：两边同时对x求导，把y看成x的函数 
如 y2=2yy′如~y^2=2yy'如 y2=2yy′

参数方程求导：一阶y′=dydx=y′(t)x′(t)y′′=d2ydx2=d(y′)dx=d(y′)dtdtdx=(y′(t)x′(t))t′1x′(t)(其中倒数计算dtdx=1dxdt=1x′(t))参数方程求导： \\ 一阶y'= \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)} \\ y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(y')}{dx}=\frac{d(y')}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{y'(t)}{x'(t)})'_t\frac{1}{x'(t)} \\~\\ (其中倒数计算 \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{x'(t)}) \\~参数方程求导：一阶y′=dxdy​=x′(t)y′(t)​y′′=dx2d2y​=dxd(y′)​=dtd(y′)​dxdt​=(x′(t)y′(t)​)t′​x′(t)1​ (其中倒数计算dxdt​=dtdx​1​=x′(t)1​) 

例:1.一阶求y′{x=sinty=cos2t例: \\~ 1.一阶求y' \\ \begin{cases} x=sint \\ y=cos2t \end{cases} \\~例: 1.一阶求y′{x=sinty=cos2t​ 
y′=(cos2t)t′(sint)t′=−2sin2tcosty'=\frac{(cos2t)'_t}{(sint)'_t}=\frac{-2sin2t}{cost} \\~y′=(sint)t′​(cos2t)t′​​=cost−2sin2t​ 

2.二阶求y′′{x=t22y=1−t\\~ 2.二阶求y'' \\ \begin{cases} x=\frac{t^2}{2} \\ y=1-t \\ \end{cases} \\~ 2.二阶求y′′{x=2t2​y=1−t​ 
y′=(1−t)t′t22t′=−1ty′′=d(y′)dtdtdx=d(y′)dt1dxdt[dxdt在计算y′时已经算出，带入dxdt和y′]=(−1t)t′(1t)=t−2(1t)=t−3y'=\frac{(1-t)'_t}{\frac{t^2}{2}'_t}=-\frac{1}{t} \\~\\ y''=\frac{d(y')}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{d(y')}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}} [\frac{dx}{dt}在计算y'时已经算出，带入\frac{dx}{dt}和y'] \\ = (-\frac{1}{t})'_t(\frac{1}{t})=t^{-2}(\frac{1}{t})=t^{-3} \\ \\~y′=2t2​t′​(1−t)t′​​=−t1​ y′′=dtd(y′)​dxdt​=dtd(y′)​dtdx​1​[dtdx​在计算y′时已经算出，带入dtdx​和y′]=(−t1​)t′​(t1​)=t−2(t1​)=t−3 

分段函数求导:连续：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)一元函数：可微⇔可导≠连续(可导必连续，图像相连且光滑)分段函数求导: \\ 连续：\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) \\ 一元函数：可微 \Leftrightarrow 可导 \ne 连续 (可导必连续，图像相连且光滑) \\~分段函数求导:连续：x→x0​lim​f(x)=f(x0​)一元函数：可微⇔可导=连续(可导必连续，图像相连且光滑) 

例:讨论y=e∣x∣在x=0的可导性y=e∣x∣{exx>01x=0e−xx<0例: \\~ 讨论y=e^{|x|}在x=0的可导性 \\ y=e^{|x|} \begin{cases} e^x ~ ~~~~~~~x>0 \\ 1 ~~~~~~~~~~x=0\\ e^{-x} ~~~~~~x<0 \end{cases} \\~例: 讨论y=e∣x∣在x=0的可导性y=e∣x∣⎩⎨⎧​ex        x>01          x=0e−x      x<0​ 

[注：若y=e∣x∣在x=0连续：lim⁡x→0f(x)=f(x0)=1,此处需lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=1][注：若y=e^{|x|}在x=0连续：\lim\limits_{x \to 0}f(x)=f(x_0)=1~,此处需\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=1] \\~[注：若y=e∣x∣在x=0连续：x→0lim​f(x)=f(x0​)=1 ,此处需x→0−lim​f(x)=x→0+lim​f(x)=1] 
[注：若y=e∣x∣在x=0可导：f+′(0)=f−′(0)][注：若y=e^{|x|}在x=0可导：f'_+(0)=f'_-(0)~] \\~[注：若y=e∣x∣在x=0可导：f+′​(0)=f−′​(0) ] 
f+′(0)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+ex−1x=1f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{x}=1f+′​(0)=x→0+lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0+lim​xex−1​=1

f−′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−e−x−1x=−1f'_-(0)= \lim\limits_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0^-}\frac{e^{-x-}1}{x}=-1 \\~f−′​(0)=x→0−lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0−lim​xe−x−1​=−1 
则y=e∣x∣在x=0处不可导(f′(0)不存在)则y=e^{|x|}在x=0处不可导(f'(0)不存在) \\~\\~\\~则y=e∣x∣在x=0处不可导(f′(0)不存在)   

问f(x)的不可导点的个数(常规解法：左右极限是否相等−连续 且 极限lim⁡x→x0f(x)是否等于函数值f(x0)记结论：绝对值内外相等则可导如f(x)=∣x∣在x=0不可导,而g(x)=x∣x∣在x=0可导又如 x(x+1)x(+2)∣x(x+1)∣在x=0和x=−1可导，在x=−2不可导，1个不可导点问f(x)的不可导点的个数\\ (常规解法：左右极限是否相等-连续~ 且 ~极限\lim\limits_{x \to x_0}f(x)是否等于函数值f(x_0) \\ 记结论： \\ 绝对值内外相等则可导 \\ 如f(x)=|x|在x=0不可导, 而g(x)=x|x| 在x=0可导 \\ 又如 ~x(x+1)x(+2)|x(x+1)|在x=0和x=-1可导，在x=-2不可导，1个不可导点\\ \\~问f(x)的不可导点的个数(常规解法：左右极限是否相等−连续 且 极限x→x0​lim​f(x)是否等于函数值f(x0​)记结论：绝对值内外相等则可导如f(x)=∣x∣在x=0不可导,而g(x)=x∣x∣在x=0可导又如 x(x+1)x(+2)∣x(x+1)∣在x=0和x=−1可导，在x=−2不可导，1个不可导点 

变限积分求导!!!微积分基本定理：f(x)连续，F(x)=∫axf(t)dt∫abf(x)dx可转化为[a,b]的图形面积重要变型公式：(∫ag(x)f(t)dt)′=f(g(x))g′(x)(∫h(x)af(t)dt)′=(−∫ah(x)f(t)dt)′(∫h(x)g(x)f(t)dt)′=f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)变限积分求导!!! \\~\\ 微积分基本定理： f(x)连续， F(x)=\int_{a}^x f(t)dt \\ \int_{a}^b f(x)dx 可转化为[a,b]的图形面积 \\ \\~\\ 重要变型公式：\\~ (\int_{a}^{g(x)} f(t)dt)'= f(g(x))g'(x) \\~\\ (\int_{h(x)}^{a} f(t)dt)' = (-\int_{a}^{h(x)} f(t)dt)' \\~\\ (\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt)' = f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x) \\ \\~变限积分求导!!! 微积分基本定理：f(x)连续，F(x)=∫ax​f(t)dt∫ab​f(x)dx可转化为[a,b]的图形面积 重要变型公式： (∫ag(x)​f(t)dt)′=f(g(x))g′(x) (∫h(x)a​f(t)dt)′=(−∫ah(x)​f(t)dt)′ (∫h(x)g(x)​f(t)dt)′=f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x) 

[∫axf(t,x)dt若t,x无法分离，用变量替换 ]\\~ [~~\int^x_af(t,x)dt~若t,x无法分离，用变量替换~] \\~ [  ∫ax​f(t,x)dt 若t,x无法分离，用变量替换 ] 

例：注意：只允许字母x出现在积分上下限中y=∫0x(x(g(t))−tg(t))dt=∫0xx(g(t)dt−∫0xtg(t))dt=x∫0xg(t)dt−∫0xtg(t))dt[运用(uv)′=u′v+uv′]y′=(x∫0xg(t)dt−∫0xtg(t))dt)′=∫0xg(t)dt+xg(x)−xg(x)=∫0xg(t)dt例：\\ 注意：只允许字母x出现在积分上下限中 \\~ y=\int_{0}^{x} (x(g(t))-tg(t))dt =\int_{0}^{x} x(g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt \\~ =x \int_{0}^{x} g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt ~~~~[运用(uv)'=u'v+uv']\\ y'=(x \int_{0}^{x} g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt)'=\int_{0}^{x} g(t)dt+xg(x)-xg(x)=\int_{0}^{x} g(t)dt \\~例：注意：只允许字母x出现在积分上下限中 y=∫0x​(x(g(t))−tg(t))dt=∫0x​x(g(t)dt−∫0x​tg(t))dt =x∫0x​g(t)dt−∫0x​tg(t))dt    [运用(uv)′=u′v+uv′]y′=(x∫0x​g(t)dt−∫0x​tg(t))dt)′=∫0x​g(t)dt+xg(x)−xg(x)=∫0x​g(t)dt 
根据(C)′=0：(∫abf(x)dx)′=(F(x)∣ab)x′=(F(b)−F(a))′=0[没有含x字母，视为常数]对比：ddx∫absinx2dx=0ddb∫absinx2dx=(F(b)−F(a))b′=f(b)−0=f(b)=sinb2[熟练后可直接写sinb2]根据(C)'=0 ： \\ (\int_a^bf(x)dx)'=(F(x)|_a^b)'_x=(F(b)-F(a))'= 0 ~~~[没有含x字母，视为常数] \\ 对比： \\ \frac{d}{dx}\int_a^bsinx^2dx=0 \\~\\ \frac{d}{db}\int_a^bsinx^2dx= (F(b)-F(a))'_b=f(b)-0=f(b)=sinb^2 ~ [熟练后可直接写sinb^2 ]\\ \\~根据(C)′=0：(∫ab​f(x)dx)′=(F(x)∣ab​)x′​=(F(b)−F(a))′=0   [没有含x字母，视为常数]对比：dxd​∫ab​sinx2dx=0 dbd​∫ab​sinx2dx=(F(b)−F(a))b′​=f(b)−0=f(b)=sinb2 [熟练后可直接写sinb2] 

求导与积分(凑微分)[求导容易积分难](x)′=121x逆运算∫1xdx=2x+cf′(Δ)=f′(Δ)+Δf(Δ)=0∗Δ=0→【eΔx】(xlnx)′=lnx+1,(lnxx)′=1−lnxx2∫1−lnx(x−lnx)2dx=∫1−lnxx2(x−lnx)2x2dx=∫dlnxx(1−lnxx)2[d中可等价添加常数]=−∫d(1−lnxx)(1−lnxx)2=11−lnxx+c求导与积分(凑微分)~~[求导容易积分难] \\ (\sqrt x)'= \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt x} 逆运算 \int \frac{1}{\sqrt x}dx=2\sqrt x+c \\ f'( \Delta)=f'( \Delta)+\Delta f( \Delta) =0*\Delta=0 \to 【e^{\Delta x} 】 \\ (xlnx)'=lnx+1, (\frac{lnx}{x})'= \frac{1-lnx}{x^2} \\ \int \frac{1-lnx}{(x-lnx)^2}dx=\int \frac{ \frac{1-lnx}{x^2} } {\frac{(x-lnx)^2}{x^2} }dx = \int \frac{ d \frac{lnx}{x} }{ (1-\frac{lnx}{x})^2 } [d中可等价添加常数]= -\int \frac{ d (1-\frac{lnx}{x}) }{ (1-\frac{lnx}{x})^2 } = \frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}+c \\ \\~求导与积分(凑微分)  [求导容易积分难](x​)′=21​x​1​逆运算∫x​1​dx=2x​+cf′(Δ)=f′(Δ)+Δf(Δ)=0∗Δ=0→【eΔx】(xlnx)′=lnx+1,(xlnx​)′=x21−lnx​∫(x−lnx)21−lnx​dx=∫x2(x−lnx)2​x21−lnx​​dx=∫(1−xlnx​)2dxlnx​​[d中可等价添加常数]=−∫(1−xlnx​)2d(1−xlnx​)​=1−xlnx​1​+c 

若题中告知f′(x)存在=>导数定义求极限:若题中告知f'(x)存在 =>导数定义求极限:若题中告知f′(x)存在=>导数定义求极限:

f′(x0)=lim⁡t→0f(x0+g(t))−f(x0)g(t)f'(x_0)=\lim\limits_{t \to 0}\frac{f(x_0+g(t))-f(x_0)}{g(t)} \\~f′(x0​)=t→0lim​g(t)f(x0​+g(t))−f(x0​)​ 
用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]

f′(1)=lim⁡x→0f(1+2sinx)−f(1)2sinxf'(1)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1+2sinx)-f(1)}{2sinx}f′(1)=x→0lim​2sinxf(1+2sinx)−f(1)​
f′(1)=lim⁡x→0f(1)−f(1−3tanx)3tanx=lim⁡x→0f(1−3tanx)−f(1)−3tanxf'(1)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1)-f(1-3tanx)}{3tanx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1-3tanx)-f(1)}{-3tanx}\\~\\~f′(1)=x→0lim​3tanxf(1)−f(1−3tanx)​=x→0lim​−3tanxf(1−3tanx)−f(1)​  

凑导数定义例题：凑导数定义例题：\\~凑导数定义例题： 

\\~\\~  

扩结论:若lim⁡x→□f(x)g(x)∃且分母 lim⁡x→□g(x)=0⇒lim⁡x→□f(x)=0扩结论:若\lim\limits_{x \to \square} \frac{f(x)}{g(x)} \exists ~~且分母~\lim\limits_{x \to \square}g(x) =0 ~~~\Rightarrow \lim\limits_{x \to \square}f(x)=0\\~扩结论:若x→□lim​g(x)f(x)​∃  且分母 x→□lim​g(x)=0   ⇒x→□lim​f(x)=0 

例：求f(x)在x=1可导,已知lim⁡x→0f(ex2)−3f(1+sin2x)x2=2,求f′(1)例：求f(x)在x=1可导,已知 \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-3f(1+sin^2x)}{x^2}=2 ,求f'(1)\\~例：求f(x)在x=1可导,已知x→0lim​x2f(ex2)−3f(1+sin2x)​=2,求f′(1) 
lim⁡x→0f(ex2)−3f(1+sin2x)x2=2\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-3f(1+sin^2x)}{x^2}=2x→0lim​x2f(ex2)−3f(1+sin2x)​=2
lim⁡x→0f(ex2)−f(1)+3f(1)−3f(1+sin2x)−2f(1)x2=2\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-f(1)+3f(1)-3f(1+sin^2x)-2f(1)}{x^2}=2x→0lim​x2f(ex2)−f(1)+3f(1)−3f(1+sin2x)−2f(1)​=2
根据x=1极限∃且分母lim⁡x→0x2=0⇒分子极限=0，带入x=1,f(1)−3f(1)=0⇒f(1)=0根据x=1极限\exist且分母\lim\limits_{x \to 0}x^2=0 ~~\Rightarrow~~分子极限=0，带入x=1,f(1)-3f(1)=0~~\Rightarrow~~f(1)=0根据x=1极限∃且分母x→0lim​x2=0  ⇒  分子极限=0，带入x=1,f(1)−3f(1)=0  ⇒  f(1)=0
lim⁡x→0(f(ex2)−f(1)ex2−1)(f(ex2−1x2)+3lim⁡x→0(f(1)−3f(1+sin2x)−sin2x)(−sin2xx2)=2\lim\limits_{x \to 0} (\frac{f(e^{x^2})-f(1)}{e^{x^2}-1})(\frac{f(e^{x^2}-1}{x^2})+3\lim\limits_{x \to 0}(\frac{f(1)-3f(1+sin^2x)}{-sin^2x})(\frac{-sin^2x}{x^2})=2x→0lim​(ex2−1f(ex2)−f(1)​)(x2f(ex2−1​)+3x→0lim​(−sin2xf(1)−3f(1+sin2x)​)(x2−sin2x​)=2
f′(1)−3f′(1)=2f'(1)-3f'(1)=2f′(1)−3f′(1)=2
f′(1)=−1f'(1)=-1f′(1)=−1

经典考题：经典考题：经典考题：
设y=f(x),由方程y−x=ex(1−y)确定,求lim⁡n→∞[f(1n)−1]n设y=f(x),由方程y-x=e^{x(1-y)}确定,求\lim\limits_{n \to \infty}[f(\frac{1}{n})-1]n设y=f(x),由方程y−x=ex(1−y)确定,求n→∞lim​[f(n1​)−1]n

隐函数求导基本功，(尝试x=0,1,−1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)隐函数求导基本功，(尝试x=0,1,-1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)隐函数求导基本功，(尝试x=0,1,−1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)
对x求导       y′−1=ex(1−y)(1−y+x(−y)′)对x求导~~~~~~~y'-1=e^{x(1-y)}(1-y+x(-y)')对x求导       y′−1=ex(1−y)(1−y+x(−y)′)
代入x=0,y=1,y′−1=0,即y′=1,(代入的是x=0,即f′(0)=1)代入x=0,y=1,y'-1=0,即y'=1,(代入的是x=0,即f'(0)=1)代入x=0,y=1,y′−1=0,即y′=1,(代入的是x=0,即f′(0)=1)

lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0x=1nlim⁡n→∞[f(1n)−f(0)]1n−0\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} ~~~\frac{x=\frac{1}{n}}{}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}x→0lim​x−0f(x)−f(0)​   x=n1​​n→∞lim​n1​−0[f(n1​)−f(0)]​

原式lim⁡n→∞[f(1n)−1]n=lim⁡n→∞[f(1n)−f(0)]1n−0=f′(0)=1(代入f(0)=1,f′(0)=1)原式\lim\limits_{n \to \infty} [f(\frac{1}{n})-1]n=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}=f'(0)=1 \\ (代入f(0)=1,f'(0)=1) \\~\\~原式n→∞lim​[f(n1​)−1]n=n→∞lim​n1​−0[f(n1​)−f(0)]​=f′(0)=1(代入f(0)=1,f′(0)=1)  

积分计算