什么是跳表

只要是平衡搜索二叉树能实现的功能，跳表都能实现，且时间复杂度都相同

例如：

• 哈希表的功能：插入，查找，删除
• 有序表的功能：查找大于某值最小的数，小于某值最大的数，按顺序遍历

这些操作的时间复杂度都为O(logN)

跳表在原有的有序链表上面增加了多级索引，通过索引来实现快速查找。跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能

整体结构

跳表由一个个节点组成，节点之间按照顺序连接，最左边是头结点

每个节点是一个多层的结构，除了记录值val外，还用nexts记录层级信息，每一层的指针指向下一个节点

我们设计的跳表支持重复插入，需要用count记录数量

static  class SkipNode {int val;int count;private List nexts;public SkipNode(int val) {this.val = val;this.count = 1;this.nexts = new ArrayList<>();}
}

至于有多少层，完全根据概率决定，层级越高，概率越低。因此跳表中需要维护一个概率rate

同时需要记录最左边的头结点head，和最大的层数maxLevel

static  class SkipMap {private  double rate;private SkipNode head;private  int maxLevel;public SkipMap(double rate) {this.rate = rate;this.head = new SkipNode(0);// 初始化第0层this.head.nexts.add(null);this.maxLevel = 0;}

每个节点按照一定的顺序从左往右排列，相同的层级会用指针串联起来

例如下图的跳表：节点0,3只有一层，节点2,4有至少两层，因此head中level等于1的指针会直接连向节点2，再从2连向节点4

查找

流程

要查找跳表中是否有元素key：

1. 从head节点maxLevel层开始找，找每一层小于key的最后一个节点，记为cur

• 因为是从head开始找，我们假设head的节点值为无限小，那么在每一层一定能找到最后一个小于key的节点

2. 然后从cur的下一层开始寻找，重复步骤1
3. 直到找到最后一层节点为止

例如，要在如下的跳表中查看是否有元素3：

• 从head节点的第maxLevel层，也就是第3层开始找，其下一个节点值为4，大于等于3，因此从第2层开始找
• 第2层的下一个节点还是4，继续降低层级
• 第1层的下一个节点为2，比3小，跳到该节点，继续看该节点的下一个节点为4，大于等于3，降低层级
• 第0层的下一个节点为3，就等于参数key，返回下一个节点

整个流程如下图所示：

怎么判断跳表中是否存在元素key？

因为跳表中的节点一层存在第0层，现在找到了第0层中，小于key最右边的的节点cur

如果key存在，那么cur右边的节点的值一定为key

因此判断cur.nexts.get(0).val== key就好了

正确性证明

这种做法有没有在可能查找的路径中漏掉一些元素，导致跳表中客观上有该元素，却返回没找到？

根据概率，层级越高的节点越稀疏，因此从高层开始查找，一次可能跳过很多节点

示例中，当路径从head到节点2时，跳过了节点0，节点2小于key，由于跳表中的节点按照顺序从左到右排列，那些被跳过的节点一定也小于key，而又在节点2的左边，不可能成为小于key且最右边的节点，因此跳过这些节点没有问题

当cur的下一个节点的值大于等于key时，不能再往右跳了，需要在当前节点降低层级查找

下一层级可能有更多的节点，next连到了小于key的节点，又能继续跳

由于只排除了不可能成为答案的节点，因此正确性没有问题

时间复杂度

当数据量较大时，概率分布均匀，平均每层跳过剩余节点的一半的节点，因此时间复杂度为O(logN)

代码实现

在level层里找小于key最右的节点：

// level：在哪一层找
// cur：从哪个节点开始找
// key：需要小于的值
public SkipNode mostRightLessKeyInLevel(int level, SkipNode cur,int key) {SkipNode next = cur.nexts.get(level);while (next != null && next.val < key) {cur = next;next = next.nexts.get(level);}return cur;
}

查找：

public SkipNode find(int key) {int level = maxLevel;SkipNode cur = head;while (level >= 0) {cur = mostRightLessKeyInLevel(level,cur,key);level--;}if (cur.nexts.get(0) != null && cur.nexts.get(0).val == key) {return cur.nexts.get(0);}return  null;
}

插入

往跳表中插入节点的步骤如下：

• 随机决定层数newLevel

  • 生成0~1的随机数，如果小于rate，就增加层数，直到大于rate位置
  • 需要控制跳表的平均层级时，可以将rate调小，一般使用可以设置为0.5，redis设置为0.25，因此redis的跳表平均层数很低

• 如果maxLevel小于newLevel，将head的层级增加到newLevel

• 新建待插入节点newNode，初始化有newLevel个层级

• 从head节点，maxLevel层开始

  • 每一层找比key小，最右的节点，将newNode串到该节点后面
  • 去下一层级找，不断重复这个过程，直到第0层串完为止

例如：往下图的跳表中插入key为4，newLevel为6的节点：

代码实现如下：

public  void put(int key) {SkipNode existNode = find(key);if (existNode != null) {existNode.count++;return;}size++;// 随机决定层数int newLevel = 0;while (Math.random() <= this.rate) {newLevel++;}// 将head增加到和newLevel一样的层数while (maxLevel < newLevel) {head.nexts.add(null);maxLevel++;}// 新建待插入节点newNode，初始化有newLevel个层级SkipNode newNode = new SkipNode(key);for (int i = 0;i <= newLevel;i++) {newNode.nexts.add(null);}int level = maxLevel;SkipNode pre = head;while (level >= 0) {// 找到当前层，比key小的最右的节点pre = mostRightLessKeyInLevel(level, pre, key);// 只有降到newLevel层才将newNode串到跳表中if (level <= newLevel) {// 将newNode串到pre的后面newNode.nexts.set(level, pre.nexts.get(level));pre.nexts.set(level, newNode);}level--;}
}

删除

删除的逻辑和插入类似，从head节点的maxLevel层开始找：

• 每一层找比key小，最右的节点，将该节点的next删除
• 降低层级，去下一层找到并删除，直到删完所有层级的数据为止

代码实现如下：

public  void remove(int key) {SkipNode existNode = find(key);if (existNode != null) {existNode.count--;if (existNode.count != 0) {return;}}size--;int level = maxLevel;SkipNode cur = head;while (level >= 0) {cur = mostRightLessKeyInLevel(level,cur,key);SkipNode next = cur.nexts.get(level);if (next != null && next.val == key) {cur.nexts.set(level, next.nexts.get(level));}level--;}
}