非线性方程求根——牛顿迭代法
创始人
2024-01-20 03:54:13
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一、牛顿法
1.实质：牛顿法实质上是一种线性方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来解。
2.牛顿法公式：
已知方程f(x)=0有近似解xk,假设
，将f(x)在点xk泰勒展开，有
则方程f(x)=0可近似表示为：
，根为：
则迭代法：
3.牛顿法几何意义：
方程发f(x)=0的根
可解释为曲线y=f(x)与x轴的交点横坐标，如图：
例题：
牛顿法的优点是收敛快，缺点是计算量大且计算求导困难，并且只有初始近似x0在x*的附近才能保证收敛，若x0不合适可能不收敛。
二、牛顿法改进
1.简化牛顿法迭代公式：
2.几何意义：用斜率
的平方弦与x轴的交点，做
的近似。
3.牛顿下山法：
（1）基本思想：将牛顿法前后两次迭代结果
进行加权平均，作为新的
，并且保证
，其中 为下山因子， ，选择 时， 从 开始，逐次将 减半进行试算，直到 满足 为止。
（2）公式：
三、重根情形
设
，且
，则称
是方程的m重根，则
牛顿法：
其中
则
，因
则
，则牛顿法线性收敛。
（1）改进一：
取
其中m为几个重根，则
则迭代法
至少二阶收敛。
（2）改进二：
若 
是 
的m重根，则 是 的m-1重根。 令 
，则 
是 的单根，对
用牛顿法至少有二阶收敛性。 迭代公式如下：
例题：
结果：
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