在看西瓜书的时候有些地方的数学推导(尤其是概率论的似然、各种分布)让我很懵逼,本科的忘光了,感觉有点懂又不太懂,基于此,干脆花一点时间简单从头归纳一下机器学习中的数学基础,也就是高数、线代、概率论(其实大学都学过)。
本文全部都是基于我自己的数学基础、尽量用方便理解的文字写的,记录的内容都是我本人记忆不太牢靠、需要时常来翻笔记复习的知识,已经完全掌握的比如极限连续性啥的都不会出现在这里。
学习内容来自这里
概率函数(概率质量函数) →专为离散型随机变量定义的:p(x)=Prob(X=x),p(x)=Prob(X=x),p(x)=Prob(X=x),XXX是随机变量的取值,PPP是概率。
离散型随机变量概率分布:f(x)f(x)f(x),f(xi)≥0,i=1,2,...f(x_i)\geq 0, i=1,2,...f(xi)≥0,i=1,2,...,∑f(xi)=1\sum f(x_i)=1∑f(xi)=1。
f(xi)=P(X=x)f(x_i)=P(X=x)f(xi)=P(X=x)就是离散型随机变量的概率函数。
连续型随机变量画不出离散型随机变量中的分布表。
概率密度→专门描述连续型随机变量的:对于连续型随机变量X,我们不能给出其取每一个值的概率,也就是画不出那个分布表。
即,假如体重范围在50~120kg,那么有没有可能一个人的体重在60.618kg呢?完全有可能,但是在连续型随机变量中,取个别点的概率为0,因为没办法计算一个点!
所以可以用区间来解决,用区间中的频数来计算这个区间的概率,绘制频率分布直方图:
分组越多,轮廓层次感越强,越接近一条曲线;如果组足够多,每个组里只有一个样本,那这个曲线就是描述数据的。
其实求密度就是求每一个区间占的面积,也就是积分。
分布函数肯定是越来越接近1的。
抽取的样本满足两点:
(1)样本X1,X2…Xn是相互独立的随机变量;
(2)样本X1,X2.….Xn与总体X同分布。
独立同分布,所以联合的可以直接累乘。
似然:拿到了一些样本,但是不知道这些样本是受什么样的参数控制的。
举例:是否下雨有据可循,受到某种参数的影响,这就是θ\thetaθ,而x就是一天天的数据。
所以似然函数的目标是把这个θ\thetaθ整出来。
离散情况下:
也就是,拿到了一个结果以后,是什么参数使这个结果的可能性更大。
连续情况下:
对于离散和连续(后面的常数可以约掉),最后的结果都是一样的。
总结:
概率:给定参数θ\thetaθ时,X=x的可能性;
似然:给定样本X=x时,参数θ\thetaθ的可能性!
理解:
找到一个参数,使得在这个参数值下,样本出现的概率最大。
怎么解?
举例: