反函数求导

例1

求函数y=tan⁡hxy=\tan hxy=tanhx的反函数x=x(y)x=x(y)x=x(y)的导数。

解：
∵\qquad \because∵函数y=tan⁡hxy=\tan hxy=tanhx严格单调递增且可导

\qquad且y′=hcos⁡2hxy'=\dfrac{h}{\cos^2 hx}y′=cos2hxh​

∴x=x(y)\qquad \therefore x=x(y)∴x=x(y)可导

x′(y)=1y′(x)=cos2hxh\qquad x'(y)=\dfrac{1}{y'(x)}=\dfrac{cos^2hx}{h}x′(y)=y′(x)1​=hcos2hx​

∵cos⁡2hx(1+tan⁡2hx)=cos⁡2hx+sin⁡2hx=1\qquad \because \cos^2hx(1+\tan^2 hx)=\cos^2hx+\sin^2 hx=1∵cos2hx(1+tan2hx)=cos2hx+sin2hx=1

∴cos⁡2hx=11+tan⁡2hx\qquad \therefore \cos^2hx=\dfrac{1}{1+\tan^2 hx}∴cos2hx=1+tan2hx1​

∴x′(y)=cos⁡2hxh=1h+htan⁡2hx=1h+hy2\qquad \therefore x'(y)=\dfrac{\cos^2hx}{h}=\dfrac{1}{h+h\tan^2 hx}=\dfrac{1}{h+hy^2}∴x′(y)=hcos2hx​=h+htan2hx1​=h+hy21​

例2

求函数y=x+exy=x+e^xy=x+ex的反函数x=x(y)x=x(y)x=x(y)的导数。

解：
∵\qquad \because∵函数y=x+exy=x+e^xy=x+ex严格单调递增且可导

\qquad且y′=1+exy'=1+e^xy′=1+ex

∴x′(y)=1y′(x)=11+ex\qquad \therefore x'(y)=\dfrac{1}{y'(x)}=\dfrac{1}{1+e^x}∴x′(y)=y′(x)1​=1+ex1​