组合数学总结
创始人
2024-02-06 16:06:50
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文章目录

    • 三、递推关系
      • 3.1 常系数线性递推关系
        • 特征根法
          • 1.齐次递推关系
          • 2.非齐次方程
        • 母函数方法

三、递推关系


3.1 常系数线性递推关系

k阶齐次递推关系:an+c1an−1+c2an−2+...+ckan−k=0,ck≠0(3.1.1)k阶非齐次递推关系:an+c1an−1+c2an−2+...+ckan−k=f(n),ck≠0(3.1.2)k阶齐次递推关系: \quad a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=0,c_k≠0 \quad \quad(3.1.1)\\ \\ k阶非齐次递推关系: a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=f(n),c_k≠0 \quad \quad (3.1.2)\\ k阶齐次递推关系:an​+c1​an−1​+c2​an−2​+...+ck​an−k​=0,ck​​=0(3.1.1)k阶非齐次递推关系:an​+c1​an−1​+c2​an−2​+...+ck​an−k​=f(n),ck​​=0(3.1.2)

特征根法

1.齐次递推关系

1.1. 特征根为单根
设q1,q2,…,qn是式(3.1.1)的互不相同的特征根,则式(3.1.1)的通解为
an=A1q1n+A2q2n+...+Akqkna_n=A_1q_1^n+A_2q_2^n+...+A_kq_k^n \quad\quad an​=A1​q1n​+A2​q2n​+...+Ak​qkn​


例题

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1.2. 重根情况
一般情况下,设q是式(3.2.1)的k重解,则,式(3.1.1)的通解为
an=(A1+A2n+...+Aknk−1)qna_n=(A_1+A_2n+...+A_kn^{k-1})q^n an​=(A1​+A2​n+...+Ak​nk−1)qn


1.3. 复根情况
一般情况,设q是m重复根,自然q’也是m重复根,则通解为
ρn[(A1+A2n+...+Amnm−1)cos(nθ)+(B1+B2n+...+Bmnm−1)sin(nθ)]ρ^n[(A_1+A_2n+...+A_mn^{m-1})cos(nθ)+(B_1+B_2n+...+B_mn^{m-1})sin(nθ)] ρn[(A1​+A2​n+...+Am​nm−1)cos(nθ)+(B1​+B2​n+...+Bm​nm−1)sin(nθ)]


例题

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2.非齐次方程

设a*是式(3.1.2)的一个特解,a’n是式(3.1.1)的通解,则式(3.1.2)的通解为
an=an∗+a^na_n=a_n^*+\hat{a}_n an​=an∗​+a^n​



2.1. f(n) = b (b为常数)
an∗=Anma_n^*=An^m an∗​=Anm
其中,m表示1是式(3.1.1)的m重特征根(0≤m≤k),若1不是特征根(即m=0)
an∗=Aa_n^*=A an∗​=A


例题

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2.2. f(n) = b^n (b为常数)
an∗=Anmnna_n^*=An^mn^n an∗​=Anmnn
其中m表示b是式(3.1.1)的m重特征根(0≤m≤k), 若b不是特征根(即m=0)
an∗=Abna_n^*=Ab^n an∗​=Abn


例题

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2.3. f(n) = b^n Pr(n) (其中Pr(n)为关于n的r次多项式,b为常数)
an∗=nmbnQr(n)a_n^*=n^mb^nQ_r(n) an∗​=nmbnQr​(n)
其中Qr(n) 是与Pr(n)同次的多项式,b是式(3.1.1)的m重特征根(0≤m≤k), 若b不是特征根(即m=0)
an∗=bnQr(n)a_n^*=b^nQ_r(n) an∗​=bnQr​(n)


例题

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母函数方法

对于一些复杂的递推关系,利用母函数方法求解很有效,当用它求解数列{an}的递推关系时,首先作出{an}的母函数
G(x)=∑n=0ooG(x)=\sum_{n=0}^{oo} G(x)=n=0∑oo​
并以他为媒介,将给定的递推关系转化为关于G(x)的方程,然后解出G(x),再将G(x)展开成x的幂级数,x^n的系数便是an



例题


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