我朋友曾经经历过奇葩面试，面试官直接给出一张白纸，要求用微积分计算圆的面积，他于是在白纸上画了一个圆，再分割为一个个小三角形，然后给出了结果。但是面试官不满意，认为这不是用微积分的知识。这种方式是小学课本上的方式，我觉得吧，虽然没用到大学微积分的知识，但是用了微积分的思想。我听完他的故事，瞬间明白了。面试官是要我朋友计算下面的积分：
2∫−rrr2−x2dx2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx 2∫−rr​r2−x2​dx
  直接用r2r^2r2比较难，先来个简单的，假设圆的半径为1，也就是计算下面这个不定积分：
∫1−x2dx\int \sqrt{1-x^2}dx ∫1−x2​dx
  直接这样算是算不出来的，需要用换元法，我们让x=sinux=sin \ ux=sin u，那么dx=cosududx=cos \ u \ dudx=cos u du。所以有：
∫1−x2dx=∫1−sin2ucosudu=∫cos2ucosudu\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{1-sin^2 \ u} cos \ u \ du=\int \sqrt{cos^2 \ u} cos \ u \ du ∫1−x2​dx=∫1−sin2 u​cos u du=∫cos2 u​cos u du
  到这一步，那就简单了啊。但是能直接开根号吗？我们确定定义域，因为计算的是半圆的不定积分，所以x∈[−1,1],∴u∈[−π2，π2]x \in [-1,1], \therefore u \in [-\frac{\pi}2，\frac{\pi}2]x∈[−1,1],∴u∈[−2π​，2π​]，那这就有了cosu≥1cos \ u \ge 1cos u≥1啊，所以直接脱去根号了，继续下去：
∫cos2ucosudu=∫cos2udu\int \sqrt{cos^2 \ u} cos \ u \ du=\int cos^2 \ u \ du ∫cos2 u​cos u du=∫cos2 u du
  这个时候，就需要用到三角函数倍角公式了：
cos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1⇒cos2x=cos2x+12cos \ 2x = cos^2 \ x- sin^2 \ x=2cos^2 \ x -1\\ \Rightarrow cos^2 \ x=\frac{cos \ 2x +1}2 cos 2x=cos2 x−sin2 x=2cos2 x−1⇒cos2 x=2cos 2x+1​
  所以只能接着计算了啊:
∫cos2udu=sin2u4+u2+C∵u=arcsinx∴∫cos2udu=sin(2arcsinx)4+arcsinx2+C\int cos^2 \ u \ du =\frac{sin \ 2u}4+\frac{u}2+C\\ \because u=arcsin \ x\\ \therefore \int cos^2 \ u \ du =\frac{sin (2arcsin \ x)}4+\frac{arcsin \ x}2+C\\ ∫cos2 u du=4sin 2u​+2u​+C∵u=arcsin x∴∫cos2 u du=4sin(2arcsin x)​+2arcsin x​+C
  只剩下一个很丑的部分sin(2arcsinx)sin (2arcsin \ x)sin(2arcsin x)，这部分是可以优化的，有用到了三角函数的倍角公式。这次是正弦：
sin2x=2sinxcosxsin \ 2x = 2 sin \ x cos \ x sin 2x=2sin xcos x
  所以对这一部分继续改写：
sin(2arcsinx)=2sin(arcsinx)cos(arcsinx)=2xcos(arcsinx)=2x1−sin2(arcsinx)=2x1−x2sin (2arcsin \ x)=2sin \ (arcsin \ x) cos \ (arcsin \ x) \\ =2xcos \ (arcsin \ x) \\ =2x\sqrt{1-sin^2 (arcsin \ x)}\\ =2x\sqrt{1-x^2} sin(2arcsin x)=2sin (arcsin x)cos (arcsin x)=2xcos (arcsin x)=2x1−sin2(arcsin x)​=2x1−x2​
  所以最终结果出来了啊：
∫1−x2dx=2x1−x24+arcsinx2+C=x1−x22+arcsinx2+C\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}4+\frac{arcsin \ x}2+C\\ =\frac{x\sqrt{1-x^2}}2+\frac{arcsin \ x}2+C ∫1−x2​dx=42x1−x2​​+2arcsin x​+C=2x1−x2​​+2arcsin x​+C
  把上述不定积分定为F(x)F(x)F(x),那定积分就是F(1)−F(−1)F(1)-F(-1)F(1)−F(−1)：
F(1)=11−12+arcsin12+C=π4+CF(−1)=11−12+arcsin−12+C=−π4+C2∫−111−x2dx=2[F(1)−F(−1)]=πF(1)=\frac{1\sqrt{1-1}}2+\frac{arcsin \ 1}2+C=\frac{\pi}4+C\\ F(-1)=\frac{1\sqrt{1-1}}2+\frac{arcsin \ -1}2+C=-\frac{\pi}4+C\\ 2\int^1_{-1} \sqrt{1-x^2}dx=2[F(1)-F(-1)]=\pi F(1)=211−1​​+2arcsin 1​+C=4π​+CF(−1)=211−1​​+2arcsin −1​+C=−4π​+C2∫−11​1−x2​dx=2[F(1)−F(−1)]=π
  哇，单位圆的面积就这么用微积分知识求出来了啊。如果换成通用的圆的面积也好办，就是先求以下不定积分：
x=rsinu，dx=rcosudu∫r2−x2dx=∫r2cos2udu=r2∫cos2udu=r2sin2u4+r2u2+C=2r2sinu1−sin2u4+r2u2+Cx=rsin \ u，dx = rcos\ u du\\ \int \sqrt{r^2-x^2}dx\\=\int r^2cos^2\ u\ du\\ =r^2\int cos^2\ u\ du\\ =\frac{r^2sin \ 2u}4+\frac{r^2u}2+C\\ =\frac{2r^2sin \ u\sqrt{1-sin^2 \ u}}4+\frac{r^2u}2+C x=rsin u，dx=rcos udu∫r2−x2​dx=∫r2cos2 u du=r2∫cos2 u du=4r2sin 2u​+2r2u​+C=42r2sin u1−sin2 u​​+2r2u​+C
  最后换回去：
u=arcsinxr∫r2−x2dx=2r2sinu1−sin2u4+r2u2+C=2r2sin(arcsinxr)1−sin2(arcsinxr）4+r2arcsinxr2+C=2r2xr1−(xr)24+r2arcsinxr2+C=rx1−(xr)22+r2arcsinxr2+Cu=arcsin\frac{x}r\\ \int \sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{2r^2sin \ u\sqrt{1-sin^2 \ u}}4+\frac{r^2u}2+C\\ =\frac{2r^2sin (arcsin\frac{x}r)\sqrt{1-sin^2 (arcsin\frac{x}r）}}4+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C\\ =\frac{2r^2\frac{x}r\sqrt{1-(\frac{x}r)^2}}4+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C\\ =\frac{rx\sqrt{1-(\frac{x}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C u=arcsinrx​∫r2−x2​dx=42r2sin u1−sin2 u​​+2r2u​+C=42r2sin(arcsinrx​)1−sin2(arcsinrx​）​​+2r2arcsinrx​​+C=42r2rx​1−(rx​)2​​+2r2arcsinrx​​+C=2rx1−(rx​)2​​+2r2arcsinrx​​+C
  最后定积分的牛顿莱布尼兹公式代进去：
F(r)=r21−(rr)22+r2arcsinrr2+C=r21−(1)22+r2arcsin12+C=0+r2arcsin12+C=r2π4+CF(−r)=r21−(−rr)22+r2arcsin−rr2+C=r21−(−1)22+r2arcsin−12+C=0+r2arcsin−12+C=−r2π4+CF(r)=\frac{r^2\sqrt{1-(\frac{r}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{r}r}2+C\\ =\frac{r^2\sqrt{1-(1)^2}}2+\frac{r^2arcsin\ 1}2+C\\ =0+\frac{r^2arcsin\ 1}2+C=\frac{r^2\pi}4+C\\ F(-r)=\frac{r^2\sqrt{1-(\frac{-r}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{-r}r}2+C\\ =\frac{r^2\sqrt{1-(-1)^2}}2+\frac{r^2arcsin\ -1}2+C\\ =0+\frac{r^2arcsin\ -1}2+C=-\frac{r^2\pi}4+C\\ F(r)=2r21−(rr​)2​​+2r2arcsinrr​​+C=2r21−(1)2​​+2r2arcsin 1​+C=0+2r2arcsin 1​+C=4r2π​+CF(−r)=2r21−(r−r​)2​​+2r2arcsinr−r​​+C=2r21−(−1)2​​+2r2arcsin −1​+C=0+2r2arcsin −1​+C=−4r2π​+C
  所以半圆的面积就是：
∫−rrr2−x2dx=F(r)−F(−r)=πr22\int^r_{-r} \sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(-r)=\frac{\pi r^2}2 ∫−rr​r2−x2​dx=F(r)−F(−r)=2πr2​
  那么圆的面积就是：
2∫−rrr2−x2dx=F(r)−F(−r)=πr22\int^r_{-r} \sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(-r)=\pi r^2 2∫−rr​r2−x2​dx=F(r)−F(−r)=πr2