多元正态分布_资讯

创始人

2024-02-03 18:28:13

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最广为使用的基于模型的聚类方法依赖于多元正态分布。多元正态分布是对p个变量 X_1,X_2,...,X_p 正态分布的一种推广。该分布使用一组均值 $\mu= \mu_1,\mu_2,...,\mu_p$ 和协方差矩阵∑定义。协方差矩阵是变量间相关性的度量.

协方差矩阵∑由p个方差以及所有变量对的协方差σi,ji≠j）构成。矩阵的行和列均用变量表示，形式为： $\sigma_1^2,\sigma_2^2,...,\sigma_p^2$ 以及所有变量对的协方差 $\sigma_{i,j}i \neq j$ ,构成。矩阵的行和列均用变量表示，形式为

鉴于协方差矩阵是对称的，即 $\sigma_{i,j}=\sigma_{j ,i}$ ，因此矩阵中只有p( p-1)-p个协方差项，协方差矩阵共有p(p-1)个参数。多元正态分布表示为：

符号化表示表明所有的变量均符合正态分布，整体分布使用变量均值的向量和协方差矩阵描述。

图显示了具有两个变量X和Y的多元正态分布的概率轮廓线（例如，图中的0.5概率轮廓线包含了50%的分布）。

该分布的均值是μx= 0.5和μy= -0.5，协方差矩阵为：

由于协方差 $\sigma_{xy}$ 为正，所以X和Y是正相关的。

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